Polinomiális egyenletek (megoldott gyakorlatokkal)

az polinomiális egyenletek olyan kijelentés, amely két kifejezés vagy tag egyenlőségét növeli, ahol az egyenlőség mindkét oldalát alkotó kifejezés legalább egyike P (x) polinom. Ezeket az egyenleteket változóik mértékének megfelelően nevezzük el.

Általában véve egy egyenlet olyan kijelentés, amely két kifejezés egyenlőségét állapítja meg, ahol legalább egy ilyen ismeretlen mennyiség van, amit változóknak vagy ismeretleneknek neveznek. Bár sokféle egyenlet létezik, ezek általában két típusba sorolhatók: algebrai és transzcendens.

A polinomiális egyenletek csak olyan algebrai kifejezéseket tartalmaznak, amelyeknek egy vagy több ismeretlen szerepe lehet az egyenletben. Az exponens (fok) szerint ezek az alábbiak lehetnek: első fokozat (lineáris), második fokozat (kvadratikus), harmadik fokozat (köbös), negyedik (negyed), nagyobb vagy egyenlő, öt és irracionális.

index

• 1 Jellemzők
• 2 típus
  • 2.1
  • 2.2 Második fok
  • 2.3 Resolver
  • 2.4 Magasabb fokozat
• 3 A gyakorlatok megoldása
  • 3.1 Első gyakorlat
  • 3.2 Második gyakorlat
• 4 Referenciák

jellemzői

A polinomiális egyenletek olyan kifejezések, amelyeket két polinom egyenlősége képez; azaz az ismeretlen (változók) és a rögzített számok (együtthatók) értékek közötti szorzatok véges összegei, ahol a változók exponensekkel rendelkezhetnek, és ezek értéke pozitív egész szám lehet, beleértve a nullát is.

Az exponensek meghatározzák az egyenlet mértékét vagy típusát. Az a kifejezés, amely a legmagasabb értékkel rendelkezik, a polinom abszolút mértékét képviseli.

A polinomiális egyenletek algebrai egyenletekként is ismertek, együtthatókat lehet valós vagy komplex számok és változók ismeretlen számok, amelyeket egy betű jelez, például: "x".

Ha az "x" változó értékét P (x) -nél helyettesíti, akkor az eredmény nullával (0) egyenlő, akkor azt mondják, hogy ez az érték megfelel az egyenletnek (ez egy megoldás), és általában a polinom gyökerének hívják..

Amikor egy polinomiális egyenletet fejlesztünk ki, minden gyökeret vagy megoldást meg akarunk találni.

típus

Többféle polinomiális egyenlet létezik, amelyek a változók számától függően differenciálódnak, valamint az exponens mértékétől függően..

Így a polinomiális egyenletek - ahol az első kifejezés csak egy ismeretlen polinom, mivel annak mértéke bármilyen természetes szám (n) és a második kifejezés nulla, kifejezhető a következőképpen:

hogy_{n *} xⁿ + hogy_{n-1 *} x^N-1 +... + a_{1 *} x¹ + hogy_{0 *} x₀ = 0

ahol:

- hogy_n, hogy_N-1 és a₀, ezek valós együtthatók (számok).

- hogy_n ez nullától eltér.

- Az n exponens egy pozitív egész szám, amely az egyenlet mértékét mutatja.

- x az a változó vagy ismeretlen, amelyet meg kell keresni.

A polinomiális egyenlet abszolút vagy nagyobb mértéke az, amely nagyobb értéket képvisel mindazok között, akik a polinomot alkotják; ily módon az egyenletek az alábbiak szerint vannak besorolva:

Első fokozat

Az első fokú polinomiális egyenletek, amelyek lineáris egyenletekként is ismertek, azok, amelyekben a fok (a legnagyobb exponens) 1, a polinom P (x) = 0; és egy lineáris kifejezésből és egy független kifejezésből áll. A következőképpen íródik:

ax + b = 0.

ahol:

- a és b valós számok és a ≠ 0.

- ax a lineáris kifejezés.

- b a független kifejezés.

Például a 13x - 18 = 4x egyenlet.

A lineáris egyenletek megoldásához minden, az ismeretlen x-t tartalmazó kifejezést át kell adni az egyenlőség egyik oldalának, és azokat, amelyek nem rendelkeznek, a másik oldalra mozgatják annak érdekében, hogy töröljék és megoldást kapjanak:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Ily módon az adott egyenletnek egyetlen megoldása vagy gyökere van, ami x = 2.

Második osztály

A második fokozatú polinom egyenletek, más néven kvadratikus egyenletek, azok, amelyekben a fok (a legnagyobb exponens) egyenlő 2-vel, a polinom P (x) = 0 formájú, és négyzetes kifejezésből áll. , egy lineáris és egy független. Ezt a következőképpen fejezzük ki:

fejsze² + bx + c = 0.

ahol:

- a, b és c valós számok és a ≠ 0.

- fejsze² a négyzetes kifejezés, és az "a" a kvadratikus kifejezés együtthatója.

- bx a lineáris kifejezés, és a "b" a lineáris kifejezés együtthatója.

- c a független kifejezés.

resolvente

Általában véve az ilyen típusú egyenletek megoldását az egyenletből az x törlése adja meg, és ezt a következőképpen hagyjuk el, amit határozónak nevezünk:

Ott, (b² - 4ac) az egyenlet diszkriminánsának nevezik, és ez a kifejezés határozza meg, hogy hány megoldást tartalmazhat az egyenlet:

- Igen (b² - 4ac) = 0, az egyenlet egyetlen megoldás, amely kettős; vagyis két egyenlő megoldása lesz.

- Igen (b² - 4ac)> 0, az egyenletnek két különböző valós megoldása lesz.

- Igen (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Például a 4x egyenlet van² + 10x - 6 = 0, hogy megoldja, először azonosítsa az a, b és c kifejezéseket, majd cserélje ki az alábbi képletben:

a = 4

b = 10

c = -6.

Vannak olyan esetek, amikor a második fokozatú polinomiális egyenletek nem rendelkeznek a három kifejezéssel, ezért másképpen oldják meg őket:

- Abban az esetben, ha a kvadratikus egyenletek nem rendelkeznek a lineáris kifejezéssel (azaz b = 0), akkor az egyenlet axként jelenik meg.² + c = 0. A probléma megoldásához x törlődik² és a négyzetgyöket minden tagban alkalmazták, emlékezve arra, hogy az ismeretlen két lehetséges jelét figyelembe veszik:

fejsze² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Például 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Ha a kvadratikus egyenletnek nincs önálló fogalma (azaz c = 0), akkor az egyenlet axként lesz kifejezve² + bx = 0. Ennek megoldásához az első tagban az ismeretlen x közös tényezőjét kell kivonni; mivel az egyenlet nullával egyenlő, igaz, hogy legalább egy tényező 0 lesz:

fejsze² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Ily módon:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Például: van az 5x egyenlete² + 30x = 0. Első tényező:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Két tényező keletkezik, amelyek x és (5x + 30). Úgy véljük, hogy ezek közül az egyik nulla, és a másik megoldás:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Főbb fok

A nagyobb fokú polinomiális egyenletek azok, amelyek a harmadik fokozattól kezdődnek, és amelyek bármilyen mértékű általános polinomiális egyenlet segítségével kifejezhetők vagy megoldhatók:

hogy_{n *} xⁿ + hogy_{n-1 *} x^N-1 +... + a_{1 *} x¹ + hogy_{0 *} x₀ = 0

Ezt azért használjuk, mert a kétnél nagyobb mértékű egyenlet a polinom faktorizációjának eredménye; azaz az egy vagy több fokozatú polinomok szaporodása, de valós gyökerek nélkül.

Az ilyen típusú egyenletek megoldása közvetlen, mivel két tényező szorzata nulla, ha bármely tényező null (0); ezért a megtalált polinomiális egyenletek mindegyikét meg kell oldani, mindegyik tényezőt nullára kell illeszteni.

Például a harmadik fokozatú (köbös) x egyenlete van³ + x² +4x + 4 = 0. Ennek megoldásához kövesse az alábbi lépéseket:

- A kifejezések csoportosítva vannak:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- A végtagok megoszlanak, hogy a közös ismeretlen tényezőt kapjuk:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Ily módon két tényezőt kapunk, amelyeknek nullának kell lennie:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Látható, hogy a tényező (x² + 4) = 0 nem lesz valós megoldás, míg a tényező (x + 1) = 0 igen. Ezért a megoldás:

(x + 1) = 0

x = -1.

Megoldott gyakorlatok

A következő egyenletek megoldása:

Első gyakorlat

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

megoldás

Ebben az esetben az egyenlet a polinomok szorzásaként fejeződik ki; vagyis azt figyelembe vesszük. Ennek megoldásához minden tényezőnek nullának kell lennie:

- 2x² + 5 = 0, nincs megoldás.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Így az adott egyenletnek két megoldása van: x = 3 és x = -1.

Második gyakorlat

x⁴ - 36 = 0.

megoldás

Egy polinomot kaptak, amelyet a négyzetek különbségeiént át lehet írni egy gyorsabb megoldás eléréséhez. Így az egyenlet megmarad:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Az egyenletek megoldásának megkereséséhez mindkét tényező nulla:

(x² + 6) = 0, nincs megoldás.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Így a kezdeti egyenletnek két megoldása van:

x = √6.

x = - √6.

referenciák

1. Andres, T. (2010). Tresure matematikai olimpia. Springer. New York.
2. Angel, R. R. (2007). Elemi algebra Pearson oktatás,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineáris algebra és projektív geometria. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematika a számítás előtt. Medellini Egyetem.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matematikai kézikönyv olimpiai előkészítéshez. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior Algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematika 3.