Ténylegesítési módszerek és példák

az faktorizáció olyan módszer, amelyen keresztül egy polinomot a tényezők szorzata formájában fejezünk ki, amelyek lehetnek számok, betűk vagy mindkettő. A kifejezésekre jellemző tényezők faktorizálása csoportosítva van, és így a polinom több polinomra bomlik.

Így, ha a tényezők egymással szaporodnak, az eredmény az eredeti polinom. A faktoring nagyon hasznos módszer, ha algebrai kifejezéseket használsz, mert több egyszerű kifejezés szorzásává alakítható; Például: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Vannak olyan esetek, amikor a polinomot nem lehet figyelembe venni, mert nincs feltétele a közös feltételek között; így ezek az algebrai kifejezések csak egymással és 1-vel oszthatók meg. Például: x + y + z.

Egy algebrai kifejezésben a közös tényező az azt alkotó kifejezések legnagyobb közös osztója.

index

• 1 Faktoring módszerek
  • 1.1 Tényező közös tényezővel
  • 1.2 1. példa
  • 1.3 2. példa
  • 1.4 Faktorálás csoportosítással
  • 1.5 1. példa
  • 1.6 Tesztelés az ellenőrzéssel
  • 1.7 1. példa
  • 1.8 2. példa
  • 1.9 Faktoring figyelemre méltó termékekkel
  • 1.10 1. példa
  • 1.11 2. példa
  • 1.12 3. példa
  • 1.13 Faktorálás Ruffini szabályával
  • 1.14 1. példa
• 2 Referenciák

Faktoring módszerek

Számos faktoring módszer létezik, amelyeket az esettől függően alkalmazunk. Ezek közül néhány a következő:

Faktoring közös tényezővel

Ebben a módszerben azonosítják azokat a tényezőket, amelyek gyakoriak; vagyis azokat, amelyek a kifejezés kifejezéseiben megismétlődnek. Ezután a disztribúciós tulajdonságot alkalmazzuk, eltávolítjuk a maximális közös osztót, és befejeződik a faktorizáció.

Más szavakkal, a közös kifejeződési tényezőt azonosítják, és minden egyes kifejezés megoszlik közöttük; az eredményül kapott kifejezéseket megszorozzuk a faktorizáció kifejeződésének legnagyobb közös tényezőjével.

1. példa

Tényező (b²x) + (b²y).

megoldás

Először az egyes kifejezések közös tényezője, amely ebben az esetben b², majd a kifejezések a következő tényezők között oszlanak meg:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

A faktorizáció kifejeződik, a közös tényezőt megszorozva a következő kifejezésekkel:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

2. példa

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

megoldás

Ebben az esetben két olyan tényező van, amelyek minden egyes kifejezésben megismétlődnek: "a" és "b", és amelyek egy hatalomra emelkednek. A tényezők meghatározásához először a két kifejezést hosszú formájukra bontják:

2_*hogy_*hogy_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Megfigyelhető, hogy az "a" tényezőt csak egyszer ismételjük meg a második ciklusban, és a "b" tényezőt kétszer megismételjük benne; így az első ciklusban csak 2, egy "a" és "b" tényező van; míg a második időszakban csak 3 van.

Ezért azt írjuk, hogy az "a" és a "b" megismétlődnek, és megszorozzuk azokat a tényezőket, amelyek az egyes kifejezésekből maradnak a képen látható módon:

Faktorizálás csoportosítással

Mivel nem minden esetben egyértelműen kifejeződik a polinom legnagyobb közös osztója, más lépéseket kell tenni a polinom átírása és így a tényező.

Az egyik ilyen lépés a polinomok csoportjainak csoportosítása, majd a közös faktor módszer alkalmazása.

1. példa

AC + bc + ad + b + tényező.

megoldás

Négy tényező van, amelyek közül kettő gyakori: az első kifejezésben "c", a második pedig "d". Ily módon a két kifejezést csoportosítják és elválasztják:

(ac + bc) + (hirdetés + bd).

Most lehetőség van a közös faktor módszer alkalmazására, az egyes kifejezéseket megosztva a közös tényezővel, majd megszorozva ezt a közös tényezőt az így kapott kifejezésekkel:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Most kapsz egy olyan binomit, amely mindkét kifejezésre jellemző. A tényezőt meg kell szorozni a fennmaradó tényezőkkel; így kell:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorizálás ellenőrzéssel

Ez a módszer a négyzetes polinomok, más néven trinomialisok; vagyis olyanok, amelyek axe² ± bx + c, ahol az "a" értéke különbözik az 1-től. Ez a módszer akkor is használható, ha a trinomialis az x² ± bx + c és az "a" = 1.

1. példa

X tényező² + 5x + 6.

megoldás

Négyszögletes trinómája van az x formában² ± bx + c. Elsőként meg kell találnunk két számot, amelyek szaporodásakor eredményként adják meg a "c" értékét (azaz 6), és hogy az összege megegyezik a "b" koefficienssel, ami 5. Ezek a számok 2 és 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Ily módon a kifejezés egyszerűbbé válik:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Minden kifejezést figyelembe veszünk:

- Mert (x² + 2x) a közös kifejezést kivonjuk: x (x + 2)

- (3x + 6) = 3 (x + 2) esetén

A kifejezés így marad:

x (x + 2) + 3 (x + 2).

Mivel közös binomiálisod van, hogy csökkentsd a kifejezést, ezt a többletfogalmakkal meg kell szorozni, és:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

2. példa

4a faktor² + 12a + 9 = 0.

megoldás

Négyszögletes trinómája van az axe alakjának² ± bx + c és annak meghatározásához az összes kifejezés szorzata az x együtthatóval²; ebben az esetben 4.

4.² + 12a + 9 = 0

4.² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² hogy² + 12a (4) + 36 = 0

Most két számot kell találnunk, amelyek összeszorítva eredményül adják meg a "c" értékét (ami 36), és ha összeadjuk, az "a" kifejezés együtthatóját eredményezi, ami 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Ily módon a kifejezés átíródik, figyelembe véve ezt² hogy² = 4a _* 4A. Ezért a terjesztési tulajdonságot minden egyes kifejezésre alkalmazni kell:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Végül, a kifejezést osztjuk a²; azaz 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

A kifejezés a következő:

4.² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktoring figyelemre méltó termékekkel

Vannak olyan esetek, amikor a polinomok teljes mértékben a korábbi módszerekkel való teljes tényezője nagyon hosszú folyamat lesz.

Éppen ezért kifejezést lehet kifejleszteni a figyelemre méltó termékek képleteivel, így a folyamat egyszerűbbé válik. A legelterjedtebb termékek közül a következők:

- Két négyzet különbsége: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Tökéletes négyzet egy összeg: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- A különbség tökéletes négyzete: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Két kocka különbsége: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Két kockák összege: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

1. példa

Tényező (5. \ T² - x²)

megoldás

Ebben az esetben két négyzet különbsége van; ezért a figyelemre méltó termék képletét alkalmazzuk:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

2. példa

Tényező 16x² + 40x + 25²

megoldás

Ebben az esetben egy tökéletes négyzet van, mert két négyzetet azonosíthatunk, és a fennmaradó kifejezés az első ciklus négyzetgyökével, a második kifejezés négyzetgyökével való szorzásának eredménye..

hogy² + 2ab + b² = (a + b)²

A tényező csak az első és a harmadik kifejezés négyzetgyökét számítja ki:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Ezután a két eredő kifejezést elválasztja a művelet jele, és az egész polinom négyzet:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

3. példa

27a faktor³ - b³

megoldás

A kifejezés olyan kivonást jelent, amelyben két tényezőt emelnek a kocka felé. Annak érdekében, hogy ezeket a tényezőket figyelembe vegyük, a kocka különbség jelentős termékének képletét alkalmazzuk:

hogy³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Így a faktorizáláshoz a binomiális egyes ciklusok köbös gyökerét kivonják és megszorozzák az első ciklus négyzetével, plusz az elsőnek a második ciklusban kifejezett termékével, valamint a második négyzetes kifejezéssel..

27.³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27.³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27.³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Feltételezés Ruffini szabályával

Ezt a módszert akkor használjuk, ha a polinomja nagyobb, mint két, annak érdekében, hogy egyszerűbbé tegye a kisebb polinomok kifejeződését.

1. példa

Q (x) = x tényező⁴ - 9x² + 4x + 12

megoldás

Először keressük meg a 12-es osztók számát, ami a független kifejezés; ezek ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 és ± 12.

Ezután az x értéket ezek az értékek helyettesítik, a legalacsonyabbtól a legmagasabbig, és így határozzák meg, hogy az értékek melyik része lesz pontos; azaz a többinek 0-nak kell lennie:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

És így tovább minden osztó számára. Ebben az esetben a talált tényezők az x = -1 és x = 2 értékekre vonatkoznak.

Most a Ruffini-módszert alkalmazzuk, amely szerint a kifejezés együtthatókat osztjuk a tényezők között, amelyek pontosak lehetnek. A polinom kifejezéseket a legmagasabbtól a legalacsonyabb exponensig rendeljük; abban az esetben, ha hiányzik a sorrendben következő fokozatú kifejezés, a helyére egy 0 kerül.

Az együtthatók a következő képen látható sémában találhatók.

Az első együtthatót csökkenti és megszorozza az osztó. Ebben az esetben az első osztó -1, és az eredmény a következő oszlopba kerül. Ezután a kapott értékhez függőlegesen hozzáadjuk az együttható értékét, és az eredményt az alábbiakban helyezzük el. Így a folyamat az utolsó oszlopig megismétlődik.

Ezután ismételten megismételjük az eljárást, de a második osztóval (ami 2), mert a kifejezés még egyszerűsíthető.

Így minden egyes gyökér esetében a polinomnak (x - a) van, ahol az "a" a gyökér értéke:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Másrészt ezeket a kifejezéseket meg kell szorozni a Ruffini 1: 1-es és 6-os szabályának fennmaradó részével, amelyek a fokozatot képviselő tényezők. Ily módon a kialakuló kifejezés: (x² + x - 6).

A polinom faktorizációs eredményének Ruffini módszerrel történő megszerzése:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

A befejezéshez az előző kifejezésben megjelenő 2. fokozatú polinom átírható (x + 3) (x-2) -ként. Ezért a végső faktorizáció:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

referenciák

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
2. J, V. (2014). Hogyan tanítsuk a gyerekeket a tényezőkről a polinomra.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Alapvető matematika alkalmazásokkal.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineáris módszerek polinom faktorizációhoz véges mezőkön: elmélet és megvalósítások. Essen Universität.
5. Sharpe, D. (1987). Gyűrűk és tényezők.