Homothety tulajdonságok, típusok és példák

az homotecia egy geometriai változás a síkban, ahol egy fix ponttól (O) nevezett távolságból a távolságokat egy közös tényezővel megszorozzuk. Ily módon minden P pont megfelel a transzformáció másik P 'pontjának, és ezek az O ponthoz igazodnak.

Ezután a homothety két geometriai alakzat közötti összefüggés, ahol a transzformált pontokat homotetikusnak nevezik, és ezek egy fix ponttal és egymással párhuzamos szegmensekkel vannak összehangolva.

index

• 1 Homotecia
• 2 Tulajdonságok
• 3 típus
  • 3.1 Közvetlen homothety
  • 3.2 Fordított homothety
• 4 Összetétel
• 5 Példák
  • 5.1 Első példa
  • 5.2 Második példa
• 6 Referenciák

homotecia

A homothety egy olyan átalakulás, amely nem rendelkezik egybevágó képpel, mivel egy számból egy vagy több, az eredeti alaknál nagyobb vagy nagyobb méretű számadatot kapunk; azaz a homothety egy sokszöget egy másik hasonlóvá alakít.

Ahhoz, hogy a homothety teljesüljön, meg kell felelnie a ponttól a pontig, és egyenesen egyenesre, hogy a homológ pontok párja egy harmadik rögzített ponthoz igazodjon, ami a homothety középpontja..

Hasonlóképpen, azoknak a vonalaknak a párjai, amelyek csatlakoznak hozzájuk, párhuzamosak. Az ilyen szegmensek közötti összefüggés a homothety arány (k); oly módon, hogy a homothety meghatározható:

Ahhoz, hogy ezt a fajta transzformációt kezdjük, tetszőleges pont kiválasztásával kezdődhet, amely a homothety középpontja lesz.

Ettől a ponttól kezdődően a transzformálandó ábra minden egyes csúcsára vonalak szegmensek kerülnek. A skála, amelyben az új figura reprodukciója megtörtént, a homothety (k) okából adódik..

tulajdonságok

A homothety egyik fő tulajdonsága, hogy a homothety (k) miatt minden homotikus szám hasonló. Az egyéb kiemelkedő tulajdonságok között a következők találhatók:

- A homothety (O) középpontja az egyetlen dupla pont és átalakul önmagába; azaz nem változik.

- A központon áthaladó vonalak maguk is átalakulnak (kettősek), de az általa alkotott pontok nem kettősek.

- A központon át nem haladó egyenesek párhuzamos vonalakká alakulnak; ily módon a homothety szögei ugyanazok maradnak.

- Egy szegmens képe egy középpont O homotetikusával és k arányával egy ezzel párhuzamos szegmens, amelynek hossza k-szorosa. Például, amint az a következő képen látható, egy homotézissel rendelkező AB szegmens egy másik A'B 'szegmenst eredményez, így az AB párhuzamos lesz az A'B'-vel és a k lesz:

- A homotetikus szögek egybeesnek; azaz ugyanaz az intézkedés. Ezért a szög képe egy olyan szög, amely azonos amplitúdóval rendelkezik.

Másrészről, a homothety változása az arány (k) értékétől függ, és a következő esetekben fordulhat elő:

- Ha a k = 1 konstans, akkor minden pont rögzítve van, mert magukat átalakítják. Így a homotikus alak egybeesik az eredetivel, és az átalakulást azonosító függvénynek nevezzük.

- Ha k ≠ 1, akkor az egyetlen fix pont a homothety középpontja (O).

- Ha k = -1, a homothety központi szimmetriává (C) válik; azaz a C körüli forgás 180 ° -os szögben történik^vagy.

- Ha k> 1, az átalakított ábra mérete nagyobb lesz, mint az eredeti mérete.

- Igen 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Igen -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ha k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

típus

A homothety két típusba is sorolható, az arány (k) értékétől függően:

Közvetlen homothety

Ez akkor történik, ha a k> 0 állandó; azaz a homotetikus pontok a középponthoz képest ugyanazon az oldalon vannak:

Az arányosság tényezője vagy a közvetlen homotézisek közötti hasonlóság aránya mindig pozitív lesz.

Fordított homothetic

Ez akkor következik be, ha a k állandó < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

A homotikus inverz számok arányosságának vagy hasonlóságának tényezője mindig negatív lesz.

összetétel

Ha több mozdulatot hajtanak végre egymás után, amíg meg nem kapjuk az eredeti értéknek megfelelő értéket, akkor a mozgások összetétele történik. A több mozgalom összetétele szintén mozgás.

A két homothecia közötti összetétel új homotheciát eredményez; vagyis van egy homotetikus termékünk, amelyben a központ a két eredeti transzformáció középpontjához igazodik, és a (k) arány a két ok eredménye..

Így két H homotheces összetételében₁(O₁, k₁) és H₂(O₂, k₂), megszorozva az okait: k₁ x k₂ = 1 a k hányad homotetét eredményezi₃ = K₁ x k₂. Az új homothety központja (O₃) az O egyenesen található₁ O₂.

A homothety egy lapos és visszafordíthatatlan változásnak felel meg; ha két homothecet alkalmazunk, amelyek ugyanazzal a középponttal és aránygal rendelkeznek, de más jelzéssel vannak ellátva, akkor az eredeti értéket kapjuk.

Példák

Első példa

Vigyen fel homothety-t az adott középső sokszögre (O), amely az A ponttól 5 cm-re helyezkedik el, és amelynek aránya k = 0,7.

megoldás

Bármely pontot választanak a homothety középpontjává, és ebből a sugárból az ábra csúcsai rajzolnak:

A távolság (O) és az A pont között OA = 5; ezzel meghatározhatja az egyik homotetikus pont (OA) távolságát, tudva, hogy k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

A folyamat minden csúcsra elvégezhető, vagy a homotikus poligont is felhívhatja, emlékezve arra, hogy a két poligonnak párhuzamos oldala van:

Végül az átalakítás így néz ki:

Második példa

Vigyen fel egy homothety-t az adott középső sokszögre (O), amely a C ponttól 8,5 cm-re helyezkedik el, és amelynek y aránya k = -2.

megoldás

Az (O) középponttól a C pontig terjedő távolság OC = 8,5; ezzel az adatokkal meg lehet határozni az egyik homotetikus pont (OC ') távolságát, tudva, hogy k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

A transzformált sokszög csúcsainak szegmenseinek rajzolása után a kezdeti pontok és homotéziseik a középponthoz képest az ellenkező végeken találhatók:

referenciák

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Műszaki rajz: tevékenységek jegyzetfüzet.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinitás, homológia és homothety.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineáris algebra és projektív geometria. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Általános matematika, valószínűségek és statisztikák.
5. Meserve, B. E. (2014). A geometria alapelvei. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Bevezetés az algebra-ba. Reverte.