Minimális négyzetmódszer, megoldott gyakorlatok és mit szolgál

A módszer legkisebb négyzetek a funkciók közelítésének egyik legfontosabb alkalmazása. Az ötlet az, hogy olyan görbét találjunk, hogy a rendezett párok halmaza alapján ez a függvény jobban közelíti az adatokat. A funkció lehet egy vonal, négyzetes görbe, köbös görbe stb..

A módszer ötlete az, hogy minimalizálja az ordináták (Y komponens) különbségeinek négyzetének összegét, a kiválasztott funkció által generált pontok és az adatállományhoz tartozó pontok között..

index

• 1 legkisebb négyzet módszer
• 2 A gyakorlatok megoldása
  • 2.1 1. gyakorlat
  • 2.2 2. gyakorlat
• 3 Mi az??
• 4 Referenciák

Legkisebb négyzetek módszer

A módszer megadása előtt először tisztában kell lennünk azzal, hogy mit jelent a „jobb megközelítés”. Tegyük fel, hogy egy olyan y = b + mx sort keresünk, amely a legjobban n pontot képvisel, nevezetesen (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Amint az előző ábrán látható, ha az x és y változók az y = b + mx sorral kapcsolódnak, akkor az x = x1 esetén az y megfelelő értéke b + mx1. Ez az érték azonban különbözik az y valós értékétől, amely y = y1.

Emlékezzünk arra, hogy a síkban a két pont közötti távolságot a következő képlet adja meg:

Ezt szem előtt tartva az adott adatot legjobban közelítő y = b + mx vonal kiválasztásának módját célszerű használni a vonal kiválasztása, amely minimálisra csökkenti a pontok közötti távolság négyzetösszegét. és az egyenes.

Mivel a pontok (x1, y1) és (x1, b + mx1) közötti távolság y1- (b + mx1), problémánk az m és b számok megtalálására csökken, így a következő összeg minimális:

Az a feltétel, amely megfelel ennek a feltételnek, "a legkisebb négyzetek sorának közelítése a pontokhoz (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

A probléma megoldása után csak egy módszert kell választanunk a legkisebb négyzetek közelítésének megtalálásához. Ha a pontok (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) az y = mx + b sorban vannak, akkor kollinárisnak és:

Ebben a kifejezésben:

Végül, ha a pontok nem egybeesnek, akkor y-Au = 0, és a probléma lefordítható egy vektor megtalálására, vagy olyan, hogy az euklideszi norma minimális.

A minimalizáló vektor megtalálása nem olyan nehéz, mint gondolná. Mivel az A mátrix nx2 és u 2 × 1 mátrix, az Au vektor Rⁿ és az A képéhez tartozik, amely az R alfalaⁿ amelynek mérete legfeljebb két.

Feltételezzük, hogy n = 3 megmutatja, hogy melyik eljárást kell követni. Ha n = 3, az A kép olyan sík vagy vonal lesz, amely áthalad az eredeten.

Legyen v a minimalizáló vektor. Az ábrán megfigyeljük, hogy az y-Au minimálisra csökken, ha az A képhez képest merőleges. Ez az, ha v a minimalizáló vektor, akkor előfordul, hogy:

Ezután a fentieket így fejezhetjük ki:

Ez csak akkor fordulhat elő, ha:

Végezetül a v megtisztítása:

Ez lehetséges az A óta^tAz A invertálható mindaddig, amíg az adatként megadott n pontok nem egybeesnek.

Most, ha ahelyett, hogy egy vonalat keresnénk, egy parabolt szeretnénk találni (akinek kifejezése az y = a + bx + cx formában lenne)²), amely jobb közelítés az n adatpontokhoz, az eljárás az alábbiakban ismertetett módon történik.

Ha az n adatpontok a parabolában voltak, akkor:

akkor:

Hasonló módon írhatunk y = Au-t is. Ha az összes pont nem a parabolában van, akkor az y-Au nullától eltér az egyes vektoroktól u, és a mi problémánk ismét: találjunk egy u uvot R3-ban úgy, hogy a normája || y-Au || a lehető legkisebb legyen.

Az előző eljárás megismétlésével megérkezhetünk a keresett vektorra:

Megoldott gyakorlatok

1. gyakorlat

Keresse meg azt a sort, amely a legjobban illeszkedik az (1,4), (-2,5), (3, -1) és (4,1) pontokhoz.

megoldás

Meg kell:

akkor:

Ezért arra a következtetésre jutunk, hogy az a pont, amely a legjobban illeszkedik a pontokhoz:

2. gyakorlat

Tegyük fel, hogy egy tárgy 200 m magasságból esik le. Csökkenés közben a következő intézkedéseket tesszük:

Tudjuk, hogy az objektum magassága, miután eltelt egy idő t-t, a következő:

Ha a g értéket szeretnénk elérni, akkor egy parabolát találunk, amely jobban közelít a táblázatban megadott öt ponthoz, és így az együtthatóval együtt járnánk.² ha a mérések pontosak, akkor ésszerű közelítés (-1/2) g-ig.

Meg kell:

És akkor:

Így az adatpontokat a következő négyzetes kifejezéssel állítják be:

Ezután:

Ez egy olyan érték, amely ésszerűen közel van a helyeshez, ami g = 9,81 m / s². A g pontosabb közelítése érdekében pontosabb megfigyelésekből kell indulnunk.

Mi az??

A természettudományokban vagy a társadalomtudományokban felmerülő problémákban célszerű a matematikai kifejezések segítségével írni a különböző változók között előforduló kapcsolatokat.

Például a költségeket (C), a bevételt (I) és a nyereséget (U) a közgazdaságtanban egy egyszerű képlettel lehet összekapcsolni:

A fizikában a gravitáció által okozott gyorsulást, az objektum leesésének idejét és a tárgy magasságát tudjuk összekapcsolni:

Az előző kifejezés s_vagy az objektum kezdeti magassága és v_vagy a kezdeti sebesség.

Az ilyen képletek keresése azonban nem egyszerű feladat; rendszerint az a feladat, hogy a szakmai adatokkal rendelkező munkatársak sok adattal dolgozzanak, és többször is több kísérletet végezzenek (annak érdekében, hogy ellenőrizzék, hogy a kapott eredmények állandóak) a különböző adatok közötti kapcsolat megtalálásához.

Ennek elérésének leggyakoribb módja a síkban kapott adatok pontként való megjelenítése, és olyan folyamatos funkció keresése, amely optimálisan megközelíti ezeket a pontokat.

Az egyik módja annak, hogy megtaláljuk azt a funkciót, amelyik a legjobban közelíti az adott adatot a legkisebb négyzetek módszerével.

Ezen túlmenően, ahogyan azt a gyakorlatban is láttuk, ennek a módszernek köszönhetően a fizikai állandókhoz közel közelíthetünk közelítéseket.

referenciák

1. Charles W Curtis lineáris algebra. Springer-Velarg
2. Kai Lai Chung Elsődleges megvalósíthatósági elmélet sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
3. Richar L Burden és J.Douglas Faires. Numerikus elemzés (7ed). Thompson tanulás.
4. Stanley I. Grossman. Lineáris algebrai alkalmazások. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
5. Stanley I. Grossman. Lineáris algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO