Többszörös elvek számítási technikák és példák



az szorzó elv egy olyan módszer, amelyet a számítási problémák megoldására használnak a megoldás megtalálásához anélkül, hogy az elemeket fel kellene sorolni. Ez a kombinatorikus elemzés alapelve is; az egymást követő szorzáson alapul, hogy meghatározza, hogyan történhet egy esemény.

Ez az elv megállapítja, hogy ha döntést hoznak (d1) n módon és egy másik döntésben (d2) m módon lehet meghozni, a döntéshozatal módjainak teljes számát1 és d2 egyenlő lesz az n szorzásával * m. Az elv szerint minden döntés egymás után történik: az utak száma = N1 * N2... * Nx módja.

index

  • 1 Példák
    • 1.1 1. példa
    • 1.2 2. példa
  • 2 Számítási technikák
    • 2.1 A hozzáadás elve
    • 2.2 A permutáció elve
    • 2.3 A kombináció elve
  • 3 A gyakorlatok megoldása
    • 3.1 1. gyakorlat
    • 3.2 2. gyakorlat
  • 4 Referenciák

Példák

1. példa

Paula azt tervezi, hogy a barátaival megy a filmekbe, és kiválasztja a viselni kívánt ruhát, és 3 blúzot és 2 szoknyát különítek el. Hányféleképpen képes felöltözni Paula??

megoldás

Ebben az esetben Paula-nak két döntést kell hoznia:

d1 = Válasszon 3 blúz közül = n

d2 = 2 szoknya közül választhat = m

Így Paula n * m döntéseket hozni az öltözködésről vagy más módon.

n * m = 3* 2 = 6 döntés.

A multiplikatív elv a fa diagram technikájából származik, amely egy diagram, amely az összes lehetséges eredményt összekapcsolja, így mindegyik véges számú alkalommal fordulhat elő.

2. példa

Mario nagyon szomjas volt, így elment a pékségbe, hogy megvásároljon egy gyümölcslé. Luis válaszol neki, és elmondja neki, hogy két mérete van: nagy és kicsi; és négy íz: alma, narancs, citrom és szőlő. Hányféleképpen választhatja Mario a lé?

megoldás

Az ábrán megfigyelhető, hogy Mario-nak 8 különböző módja van a gyümölcslé kiválasztásának, és hogy mint a multiplikatív elvben, ezt az eredményt n szaporításával nyerjük.*m. Az egyetlen különbség az, hogy ezen a diagramon keresztül tudjuk, hogy miként választja meg a Mario a gyümölcslét.

Másrészről, ha a lehetséges eredmények száma nagyon nagy, célszerűbb a multiplikatív elv alkalmazása.

Számítási technikák

A számlálási technikák olyan módszerek, amelyek közvetlen számolásra szolgálnak, és így ismerik az adott készlet elemeinek lehetséges elrendezésének számát. Ezek a technikák több elven alapulnak:

A hozzáadás elve

Ez az elv azt állítja, hogy ha két m és n esemény egyidejűleg nem fordulhat elő, az első vagy második esemény előfordulásának módja az m + n összege lesz:

Formák száma = m + n ... + x különböző formák.

példa

Antonio kirándulni akar, de nem dönti el, hogy melyik úticél; a South Tourism Agency-nál promóciót kínálnak New Yorkba vagy Las Vegasba utazni, míg a Keleti Idegenforgalmi Ügynökség Franciaországba, Olaszországba vagy Spanyolországba utazik. Hány különböző utazási alternatívát kínálnak Antonio?

megoldás

A Dél-turisztikai Ügynökséggel Antonio két alternatívával rendelkezik (New York vagy Las Vegas), míg az East Tourism Agency-nál 3 lehetőség van (Franciaország, Olaszország vagy Spanyolország). A különböző alternatívák száma:

Alternatívák száma = m + n = 2 + 3 = 5 alternatíva.

A permutáció elve

Arról van szó, hogy a készletet alkotó összes elemet vagy annak egyes elemeit rendeljük meg, hogy megkönnyítsük az összes lehetséges elrendezés számítását..

Az n különböző elemek permutációinak száma egyszerre, az alábbiak szerint jelenik meg:

nPn = n!

példa

Négy barát szeretne képet készíteni, és szeretné tudni, hogy hány különböző űrlapot lehet rendelni.

megoldás

Szeretné megismerni az összes lehetséges módot, amellyel a 4 ember elhelyezhető a kép elkészítéséhez. Tehát:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 különböző módon.

Ha az n rendelkezésre álló elemek permutációinak számát egy r elem által alkotott készlet részei veszik fel, akkor az a következőképpen jelenik meg:

nPr = n! ÷ (n - r)!

példa

Egy osztályteremben 10 hely van. Ha 4 diák vesz részt az osztályban, hány különböző módon tudják a diákok elfoglalni a pozíciókat?

megoldás

A székek teljes száma 10, ezek közül csak 4 lesz, az adott képlet pedig a permutációk számának meghatározására szolgál:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 mód a hozzászólások kitöltésére.

Vannak olyan esetek, amikor a készlet egyes elérhető elemei megismétlődnek (ugyanazok). Ahhoz, hogy az összes elemet egyszerre hozzák létre, a következő képletet kell használni:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

példa

Hány különböző betűből álló szavak képezhetők a "farkas" szóból?

megoldás

Ebben az esetben 4 elemünk van (levél), amelyek közül kettő pontosan ugyanaz. A megadott képlet alkalmazásával tudjuk, hogy hány különböző szó van:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 különböző szó.

A kombináció elve

Arról van szó, hogy rögzítsük az összes vagy néhány elemet, amelyek egy meghatározott sorrendet nem tartalmaznak. Például, ha van egy XYZ tömbje, megegyezik a ZXY, YZX, ZYX tömbökkel is; ez azért van, mert annak ellenére, hogy nem ugyanabban a sorrendben van, az egyes elrendezések elemei azonosak.

Ha az (n) készlet egyes elemeit (r) vesszük, a kombináció elvét a következő képlet adja meg:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

példa

Egy boltban 5 különböző típusú csokoládét árulnak. Hány különböző módon választhat 4 csokoládét?

megoldás

Ebben az esetben 4 csokoládét kell választania a boltban értékesített 5 típustól. A kiválasztás sorrendje nem számít, és ezen túlmenően a csokoládé típusát több mint kétszer lehet választani. A képlet alkalmazásával:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 különböző módja a 4 csokoládé kiválasztásának.

Amikor az (n) készlet összes elemét (r) vesszük, a kombináció elve a következő képlettel van megadva:

nCn = n!

Megoldott gyakorlatok

1. gyakorlat

Van egy baseball csapata 14 taggal. Hányféleképpen rendelhet 5 pozíciót egy játékhoz?

megoldás

A készlet 14 elemből áll, és 5 egyedi pozíciót szeretne hozzárendelni; azaz ez a sorrend fontos. A permutációs képletet akkor alkalmazzuk, ahol n rendelkezésre álló elemeket egy r alkotóelemek részei alkotnak.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Ahol n = 14 és r = 5. A következő képlettel helyettesített:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 mód a 9 játékpozíció hozzárendeléséhez.

2. gyakorlat

Ha egy 9 fős család utazik, és egymást követő ülésekkel vásárolja meg jegyeit, hány különböző módon lehet ülni?

megoldás

Körülbelül 9 elem foglal helyet egymás után.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 különböző ülésmód.

referenciák

  1. Hopkins, B. (2009). Források a diszkrét matematika oktatásához: osztálytermi projektek, előzménymodulok és cikkek.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diszkrét matematika Pearson oktatás,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Véges és diszkrét matematikai problémamegoldó. Kutatási és oktatási szövetség szerkesztői.
  4. Padró, F. C. (2001). Diszkrét matematika Politec. Katalóniában.
  5. Steiner, E. (2005). Alkalmazott matematika. Reverte.