Mik azok a trigonometrikus határok? (megoldott gyakorlatokkal)

az trigonometrikus határértékek ezek olyan funkciók határait jelentik, hogy ezeket a funkciókat trigonometrikus függvények alkotják.

Két meghatározásnak kell ismertnek lennie annak érdekében, hogy megértsük a trigonometrikus határérték kiszámításának módját.

Ezek a meghatározások:

- Az "f" függvény határértéke, amikor az "x" "b" -re hajlik: az az érték, amelyre az f (x) megközelíti az "x" megközelítéseket, "b" elérése nélkül..

- Trigonometrikus függvények: a trigonometrikus függvények a sin (x), cos (x) és tan (x) jelzésű szinusz, kozin és tangens függvények..

A többi trigonometrikus függvényt a fent említett három funkcióból nyerjük.

A funkciók korlátai

Egy funkció határértékének fogalmának tisztázása néhány példát mutat be egyszerű funkciókkal.

- Az f (x) = 3 határértéke, amikor az "x" "8" -ra hajlik, "3" -nak felel meg, mivel a függvény mindig állandó. Nem számít, mennyit ér az "x" érték, az f (x) értéke mindig "3" lesz..

- Az f (x) = x-2 határértéke, amikor az "x" "6" -ra hajlik, a "4". Mivel az "x" megközelíti a "6" -ot, az "x-2" megközelítés a "6-2 = 4" megközelítést jelenti..

- A g (x) = x² határértéke, amikor "x" "3" -ra hajlik, 9, mivel amikor "x" közeledik a "3" -hoz, akkor az "x²" megközelíti a "3² = 9" -et..

Ahogy az előző példákból is látható, a határérték kiszámítása azt jelenti, hogy kiértékeli azt az értéket, amelyre az "x" függ a függvényben, és az eredmény a határérték értéke, bár ez csak a folyamatos funkciókra igaz..

Vannak bonyolultabb korlátok?

A válasz igen. A fenti példák a határok legegyszerűbb példái. A számítási könyvekben a fő korlátok a 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 és (∞) típusok meghatározhatatlanságát eredményezik. ^ 0.

Ezeket a kifejezéseket indeterminációnak nevezzük, mivel ezek kifejezések, amelyek matematikailag nem értelme.

Ezen túlmenően, az eredeti limitben szereplő funkcióktól függően az indeterminációk megoldása során kapott eredmény minden esetben eltérő lehet..

Példák egyszerű trigonometrikus határértékekre

A korlátok megoldása érdekében mindig hasznos az érintett funkciók grafikonjainak ismerete. Az alábbiakban a szinusz, a koszinusz és a tangens függvények grafikonjai láthatók.

Néhány példa az egyszerű trigonometrikus határokra:

- Számítsuk ki a sin (x) határt, ha az "x" "0" -ra hajlik.

A gráf megtekintésekor láthatjuk, hogy ha az "x" közeledik a "0" -hoz (mind a bal, mind a jobb oldalon), akkor a szinuszgrafika is közeledik a "0" -hoz. Ezért a sin (x) határértéke, amikor "x" "0" -ra hajlik, "0".

- Számítsa ki a cos (x) határértéket, ha az "x" "0" -ra hajlik.

Figyelembe véve a kozin gráfot, látható, hogy ha az "x" közel van a "0" -hoz, akkor a kosin-gráf közel van az "1" -hez. Ez azt jelenti, hogy a cos (x) határértéke, amikor "x" "0" -ra hajlik, "1" -nek felel meg..

Lehet létezni egy korlátozás (akár szám), mint az előző példákban, de előfordulhat, hogy nem létezik, mint az alábbi példában látható..

- A tan (x) határértéke, amikor az "x" a "2/2" értékre hajlik a bal oldalon, egyenlő "+ ∞" -val, amint azt a grafikon mutatja. Másrészt, a tan (x) határértéke, amikor az "x" jobbra "-Π / 2" -re hajlik, "-∞" -val egyenlő..

A trigonometrikus határok azonosítása

Két nagyon hasznos identitás a trigonometrikus határértékek kiszámításakor:

- A "sin (x) / x" határérték, amikor "x" "0" -ra hajlik, "1" -nek felel meg..

- A "(1-cos (x)) / x" határérték, amikor "x" "0" -ra hajlik, "0" -nak felel meg..

Ezeket az identitásokat gyakran használják, ha valamilyen határozatlanságod van.

Megoldott gyakorlatok

A következő korlátokat a fent leírt identitások segítségével oldja meg.

- Számítsa ki az "f (x) = sin (3x) / x" határértéket, amikor az "x" "0" -ra hajlik.

Ha az "f" függvényt "0" -nál értékeltük, akkor 0/0 típusú meghatározást kapunk. Ezért meg kell próbálnunk megoldani ezt a határozatlanságot a leírt identitások segítségével.

Az egyetlen különbség e határ és az identitás között a szinusz függvényben megjelenő 3-as szám. Az identitás alkalmazásához az "f (x)" függvényt a következő módon kell újraírni: "3 * (sin (3x) / 3x)". Most mind a szinusz érve, mind a nevező egyenlő.

Tehát amikor az "x" "0" -ra van hajolva, az identitás eredményét a "3 * 1 = 3" érték adja. Ezért az f (x) határértéke, amikor "x" "0" -ra hajlik, "3" -nak felel meg..

- Számítsa ki a "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" határértéket, ha az "x" "0" -ra hajlik.

Ha "x = 0" g (x) -ben van helyettesítve, akkor a ∞-∞ típus meghatározhatatlan. Ennek megoldására a frakciókat kivontuk, ami az eredményt eredményezi (1-cos (x)) / x ".

Most, amikor a második trigonometrikus identitást alkalmazzuk, akkor a g (x) határértéke van, amikor az "x" "0" -ra hajlik, 0-nak felel meg..

- Számítsa ki a "h (x) = 4tan (5x) / 5x" határértéket, ha az "x" "0" -ra hajlik.

Ismét, ha a h (x) értéket "0" -ra értékeljük, akkor a 0/0.

Tan (5x) újraírása sin (5x) / cos (5x) eredményeként, hogy h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

A 4 / cos (x) határérték használatakor, ha az "x" "0" -ra van "4/1 = 4", és az első trigonometrikus azonosságot kapjuk, hogy a h (x) határértéke "x" a "0" egyenlő "1 * 4 = 4".

megfigyelés

A trigonometrikus határértékeket nem mindig könnyű megoldani. Ebben a cikkben csak az alapvető példákat mutatjuk be.

referenciák

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: problémamegoldó megközelítés (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 szerk.). Cengage tanulás.
5. Leal, J. M. és Viloria, N. G. (2005). Lapos analitikai geometria. Mérida - Venezuela: szerkesztői Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson oktatás.
7. Purcell, E. J., Varberg, D. és Rigdon, S. E. (2007). számítás (Kilencedik kiadás). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differenciális számítás korai transzcendentális funkciókkal a tudomány és a technika számára (Második kiadás szerk.). átfogó.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian sík geometria, rész: Analitikai kúpok (1907) (reprint ed.). Villámforrás.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson oktatás.