Mik azok a ferde háromszögek? (megoldott gyakorlatokkal)

az ferde háromszögek azok a háromszögek, amelyek nem téglalapok. Ez azt jelenti, hogy olyan háromszögek, amelyek egyik szöge sem egy derékszög (a mérése 90 °).

Ha nincsenek derékszögűek, akkor a pythagorai elmélet nem alkalmazható ezekre a háromszögekre.

Ezért, hogy az adatokat ferde háromszögben ismerjük, más képleteket kell használni.

A ferde szögű háromszög megoldásához szükséges képletek az úgynevezett szinuszok és kosinok törvényei, amelyeket később le fogunk mutatni.

Mindezen törvények mellett mindig lehetőség van arra, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180 ° legyen..

Ferde háromszögek

Amint azt az elején mondták, egy ferde háromszög olyan háromszög, hogy egyik szöge sem 90 ° -os.

A ferde háromszög oldalainak hosszának megtalálásának problémája, valamint a szögek mérésének megállapítása "ferde háromszögek felbontása"..

A háromszögekkel végzett munka során fontos tény, hogy a háromszög három belső szögének összege 180 °. Ez általános eredmény, ezért ferde háromszögek esetén is alkalmazható.

A mellek és a kozinok törvényei

Az ABC háromszög, amelynek hossza "a", "b" és "c":

- A mellek törvénye azt állítja, hogy a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), ahol A, B és C az "a", "b" és "c" ellentétes szögek. illetőleg.

- A kosinuszok törvénye megállapítja, hogy: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Hasonlóképpen a következő képletek használhatók:

b2 = a2 + c2 - 2ac * cos (B) vagy a2 = b² + c² - 2bc * cos (A).

Ezeket a képleteket használva kiszámíthatja a ferde szögű háromszög adatait.

edzés

Íme néhány gyakorlat, ahol meg kell találni a megadott háromszögek hiányzó adatait a megadott adatokból.

Első gyakorlat

Az ABC háromszöget úgy kell megadni, hogy A = 45º, B = 60º és a = 12cm, kiszámolja a háromszög egyéb adatait.

megoldás

Ennek segítségével a háromszög belső szögeinek összege 180º, meg kell

C = 180 ° -45 ° -60 ° = 75º.

A három szög már ismert. Ezután folytassa a mellek törvényét, hogy kiszámítsa a hiányzó két oldalt.

A megadott egyenletek 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Az első egyenlőségből törölheted a "b" -t, és megkapod ezt

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Azt is törölheti "c" -et, és kapja meg

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Második gyakorlat

Mivel az ABC háromszög úgy van, hogy A = 60º, C = 75º és b = 10cm, számítsa ki a háromszög egyéb adatait.

megoldás

Mint az előző gyakorlatban, B = 180º-60º-75º = 45º. Ráadásul a mellek törvénye alapján szükséges, hogy a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), amelyből a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5-6,12,247 cm és c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Harmadik gyakorlat

Mivel az ABC háromszög olyan, hogy a = 10cm, b = 15cm és C = 80º, kiszámolja a háromszög egyéb adatait.

megoldás

Ebben a gyakorlatban csak egy szög ismert, ezért nem indulhat el a két korábbi gyakorlatban. A mellek joga nem alkalmazható, mert egyetlen egyenlet sem oldható meg.

Ezért folytatjuk a kosinuszok törvényét. Akkor ez az

c2 = 102 + 15² - 2 (10) (15) cos (80 °) = 325 - 300 * 0,173-2272,905 cm,

úgy, hogy c ≈ 16,51 cm. Most, tudva a három oldalt, a mellek törvényét használják és kapsz

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).

Innen a B tisztításakor a (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0.894 értéket eredményezi, ami azt jelenti, hogy B .3 63,38º.

Most azt kaphatjuk, hogy A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Negyedik gyakorlat

A ferde háromszög oldalai a = 5cm, b = 3cm és c = 7cm. Számolja ki a háromszög szögeit.

megoldás

A mellek jogát nem lehet közvetlenül alkalmazni, mivel egyetlen egyenlet sem szolgálna a szögek értékének megszerzéséhez.

A kozin törvénye szerint, hogy c² = a² + b² - 2ab cos (C), ahol, amikor tisztázzuk, hogy cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 és ezért C = 120 °.

Most, ha alkalmazhatod a mellek törvényét, és kapsz 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), ahol törölheted a B-t és megkapod, hogy (B) = 3 * nélkül sin (120º) / 7 = 0,371, így B = 21,79º.

Végül az utolsó szög kiszámítása A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

referenciák

1. Landaverde, F. d. (1997). geometria (Reprint szerk.). haladás.
2. Leake, D. (2006). háromszögek (illusztrált szerk.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson oktatás.
4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). geometria. CR technológia.
5. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson oktatás.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria és analitikai geometria. Pearson oktatás.