Részvény:
Mi az a vektor és milyen jellemzői?
egy vektor ez egy olyan mennyiség vagy jelenség, amely két független tulajdonsággal rendelkezik: nagysága és iránya. A kifejezés az ilyen összeg matematikai vagy geometriai ábrázolását is jelenti.
A természetbeni vektorok például a sebesség, az erő, az elektromágneses mezők és a súly. Egy olyan mennyiséget vagy jelenséget, amely csak nagyságrendet mutat, konkrét irány nélkül, skalárnak nevezzük.
A skalárok példái közé tartozik a sebesség, a tömeg, az elektromos ellenállás és a merevlemez tárolási kapacitása.
A vektorok grafikusan ábrázolhatók két vagy három dimenzióban. A nagyságot egy szegmens hossza mutatja. Az irányt a szegmens tájolása és az egyik végén lévő nyíl mutatja.
A fenti ábrán három vektor látható kétdimenziós négyszögletes koordinátákban (a derékszögű síkban) és azok ekvivalensei poláris koordinátákban.
A vektorok a fizikában
A fizikában, ha van egy vektorod, két mennyiséget kell figyelembe venni: irányát és nagyságát. A csak egy nagyságú mennyiségeket skalároknak nevezik. Ha egy skalármennyiség irányát adjuk meg, egy vektor jön létre.
Vizuálisan nyilakkal rajzolt vektorokat talál, amelyek tökéletesek, mert egy nyílnak világos iránya és egyértelmű nagysága van (a nyíl hossza).
A következő ábrán a nyíl egy olyan vektor, amely a nyíl lábánál kezdődik (más néven farok) és a fejben végződik.
A fizikában a félkövér betűt általában egy vektor ábrázolására használják, bár ez is lehet egy betűvel ábrázolva egy nyíllal..
A nyíl azt jelenti, hogy nem csak egy skaláris érték, amelyet az A képvisel, hanem irányt is.
A vektor és a skalár közötti különbségek
Az értékek, amelyek nem vektorok, skalárisak. Például egy ilyen 500 alma mennyisége skalár, nincs címe, csak nagyságrendű. Az idő is skalár, nincs iránya.
A sebesség azonban vektor, mivel nem csak az útvonal nagyságát (sebességét) határozza meg, hanem az útvonal irányát (és irányát) is jelzi..
Például a sebességvektor működési vonala lehet
30 ° -kal a vízszintestől. Ezért tudjuk, hogy melyik irányban mozog az objektum.
Ez azonban nem határozza meg az utazás irányát, függetlenül attól, hogy távol van-e attól, vagy közelebb kerül hozzánk. Ezért azt is meghatároztuk, hogy a vektor hogyan irányul egy nyílhegyen.
Az erő, a gyorsulás és a megtett távolság szintén vektorok. Például azt mondva, hogy egy 10 méteres autót nem jelez, hogy milyen irányba mozdult el. A mozgás teljes körű meghatározásához meg kell határozni a mozgás irányát és irányát is.
Az erő is vektor, mert ha egy tárgyat magadhoz húzsz, akkor közel áll hozzád, és ha az objektumot magadtól elnyomod. Tehát az erőnek van egy iránya és értelme, ezért ez egy vektor.
példa
Példaként a vektor által szolgáltatott információkra a következő:
Keressen egy arany zsákot
Tegyük fel, hogy egy tanár elmondja: "Egy zacskó van az osztályteremen kívül, hogy megtalálja azt, mozgassa 20 méterre." Ez az állítás minden bizonnyal érdekli Önt, azonban a nyilatkozatban nincs elegendő információ az arany táska megtalálásához.
Az elmozdulás szükség ahhoz, hogy az arany táska még nem teljesen leírni. Másrészről, tegyük fel tanár azt mondja: „Egy zacskó aranyat található a tanórán kívül, navigálni, hogy megtalálják a központ a tanterem ajtaját 20 méter az egyik irányba 30 ° nyugati északi”.
Ez a kijelentés már egy teljes leírását elmozdulásvektorból, amely felsorolja a nagysága (20 m) és az irány (30 ° nyugati észak) tekintetében referencia pozíció vagy kiindulási (a központ az ajtó az osztály ).
A vektormennyiségeket nem írják le teljes mértékben, kivéve, ha mind a nagyság, mind az irány jelzi.
Autó elmozdulás
Amikor egy autóban mozogunk, különböző vektorokat használunk. Ezek a vektorok a sebesség megváltoztatásakor jelennek meg.
Amikor felgyorsítjuk egy másik autó meghaladását, az új vektorot alkotó irány- és sebességváltozókat adunk hozzá.
Másrészről, ha csökkenteni szeretnénk a sebességet, kivonjuk az említett lassításnak megfelelő vektorokat.
Egy másik értelemben, amikor a fordulatszámot megváltoztatjuk, megváltoztatjuk azt az érzést, hogy a vektor az autó mozgásából jön létre..
Nyissa ki az ajtót
Amikor kinyitunk egy ajtót, több vektorot használunk. Először is, egy adott irányba kell nyomtatnunk egy erővel az ajtó gombjának elfordításához, majd egy adott irányba kell nyomnunk az ajtót, és egy erővel nyomtatunk.
Ezek az erő- és irányértékek megfelelnek az ajtó kinyitásához használt vektoroknak. Az ajtó bezárásának folyamata új vektort fog generálni, amelynek értéke negatív lesz az eredetileg megnyitott értékhez képest..
Mozgassa a dobozt
Amikor nagyon nehéz dobozot akarunk tolni, erővel kell rendelkeznünk az oldalsó felületén. Ezt az erőt egy irányba kell kifejteni, hogy a doboz mozoghasson.
Ebben az esetben a vektor a doboz mozgatásához alkalmazott erő és irány kombinációjából származik.
Abban az esetben, ha az erőt nem használják a doboz tolatására, hanem függőlegesen felemelik, egy új vektor jelenik meg.
Ez a vektor olyan függőleges tengelyből áll, amelyen a doboz fel van emelve, és az erő emelésére alkalmazott erő.
Mozgassa a sakktáblát
Mint az előző példában, egy sakk lehet mozgatni az asztal felülete - egy adott irányba, és erőt fejtünk kifejezetten megváltoztatni álláspontját a táblára, így egy vektor.
Azt is fel lehet emelni a tábláról, új függőleges vektor létrehozásával.
Nyomja meg a gombot
A botó csak egy irányba lesz nyomva ugyanazon a rendszeren, amely tartalmazza a gombot.
A gomb megnyomásához az ujjával erőt kell alkalmazni. E mozgás gyakorlása után egy vektor jön létre.
Biliárd játék
A biliárd golyónak a fából készült dákóval való ütése azonnal egy vektorot eredményez, mivel két nagyságrendű hatása van: erősség és irány.
Erő érvényesül a biliárd golyóra, hogy egy bizonyos irányba mozgassa. Az asztalon lévő biliárd golyónak korábban kialakult értelme lesz, amely a játékos döntésétől függ.
Húzza a játékautót
Amikor egy gyermek veszi a játékautót, és egy kötélen húzza, vagy egyszerűen csak kezével kezeli, számos vektorot fog generálni.
Minden alkalommal, amikor a gyermek megváltoztatja a sebességet vagy az irányt, amellyel az autó mozog, új vektorot hoz létre.
A vektor változói ebben az esetben az energiából állnának, amelyet a gyermek az autóra vonatkozik, és azt az irányt, amellyel azt kívánja mozgatni..
A vektorok ábrázolása
A vektormennyiségeket gyakran skálázott vektor diagramok képviselik.
A vektor-diagramok egy adott irányba mutatott nyíl használatával ábrázolják a vektort. A megfelelő vektor diagramnak több jellemzővel kell rendelkeznie:
- A skálát egyértelműen felsoroljuk.
- Egy vektor nyíl húzódik (nyílhegy) egy meghatározott irányban. A vektor nyílnak van feje és farka.
- A vektor nagysága és iránya jól látható.
A vektor címe
A vektorok keletre, nyugatra, délre és északra irányíthatók. Néhány vektor azonban északkeletre irányul (45 ° -os szögben). Ezért egyértelműen szükség van egy olyan vektor irányának azonosítására, amely nem függ az északi, déli, keleti vagy nyugati irányoktól.
Különböző egyezmények léteznek bármely vektor irányának leírására, azonban közülük csak kettő magyarázható az alábbiakban.
1-A vektor irányát gyakran a „farok” körül keletkező vektor keleti, nyugati, északi vagy déli irányú forgási szögeként fejezik ki.
Például, azt lehet mondani, hogy a vektort, amelynek iránya 40 ° észak-nyugati (ami azt jelenti, hogy a vektor, amely rámutat a nyugati van forgatva 40 ° az északi), vagy amelynek iránya 65 ° fok Délkelet (ami azt jelenti, egy vektort délre mutat forgatva 65 ° a kelet irányban).
2-A vektor irányát gyakran fordulási szögként fejezik ki a vektor óramutató járásával ellentétes irányban. Ezzel az egyezménnyel egy 30 ° -os irányú vektor egy olyan vektor, amelyet 30 ° -kal elfordítottak az óramutató járásával ellentétes irányban a keleti irányban..
Egy 160 ° -os irányú vektor egy olyan vektor, amelyet 160 ° -kal elfordítottak az óramutató járásával ellentétes irányban a keleti irányban. A 270 ° -os irányú vektor egy olyan vektor, amelyet 270 ° -kal elfordítottak az óramutató járásával ellentétes irányban a keleti irányban.
Egy vektor nagysága
A skálázott vektor diagramon lévő vektor nagyságát a nyíl hossza mutatja. A nyíl a kiválasztott méretarány szerint pontos hosszúságú.
Ha például egy 20 méteres nagyságú vektort szeretne rajzolni, akkor 1 cm = 5 méteres skálán választhat, és rajzoljon egy 4 cm hosszúságú nyilat.
Ugyanezen skálán (1 cm = 5 méter) egy 15 méteres elmozdulási vektort 3 cm hosszú vektor jelez..
Ugyanígy egy 25 méteres elmozdulásvektor 5 cm hosszú nyíllal van ellátva. Végül pedig egy 18 méteres elmozdulási vektort 3,6 cm hosszú nyíl képvisel.
A vektorok egyéb jellemzői
egyenlőség: azt mondják, hogy két vektor egyenlő, ha azonos nagyságú és irányú. Ugyanilyenek lesznek, ha a koordináták egyenlőek.
ellenzék: két vektor ellentétes, ha ugyanolyan nagyságú, de ellenkező irányú.
Paralelos: két vektor párhuzamos, ha ugyanolyan irányúak, de nem feltétlenül ugyanolyan nagyságúak, vagy ellentétes irányúak, ha ellenkező irányúak, de nem feltétlenül ugyanolyan nagyságúak.
Vektor egység: egy egységvektor bármely vektor, amelynek hossza egy.
Vektor nulla: a nulla vektor a nulla hosszúságú vektor. Más vektoroktól eltérően tetszőleges vagy határozatlan irányú, és nem lehet normalizálni
referenciák
- Jong IC, Rogers BG. Mérnöki mechanika: statika (1991). Saunders College Publishing.
- Ito K. Matematika enciklopédikus szótára (1993). MIT Press.
- Ivanov AB. Matematika enciklopédia (2001). ugró.
- Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
- Lang S. Bevezetés a lineáris algebra (1986). ugró.
- Niku S. Mérnöki elvek a nem mérnökök mindennapi életében (2016). Morgan & Claypool.
- Pedoe D. Geometria: átfogó kurzus (1988). Dover.