Szarrusz szabály a meghatározó tényezők típusaiban és típusaiban

az Sarrus szabály a 3 × 3-as determinánsok eredményének kiszámításához használják. Ezeket lineáris egyenletek megoldására használják, és tudják, hogy kompatibilisek-e.

A kompatibilis rendszerek segítségével könnyebben szerezheti meg a megoldást. Azt is használják, hogy meghatározzák, hogy a vektorok halmazai lineárisan függetlenek-e és képezik-e a vektor tér alapját.

Ezek az alkalmazások a mátrixok invertálhatóságán alapulnak. Ha egy mátrix szabályos, akkor a determináns különbözik a 0-tól. Ha szinguláris, akkor a determináns értéke 0. A determinánsok csak négyzetes mátrixokban számíthatók.

A rendelés mátrixainak kiszámításához a Laplace-tétel használható. Ez a tétel lehetővé teszi számunkra, hogy egyszerűsítsük a nagy dimenziók matricáit, kis tényezők összegében, amelyeket a fő mátrixból bontunk.

Megerősíti, hogy a mátrix meghatározója megegyezik az egyes sorok vagy oszlopok termékeinek összegével, a csatolt mátrix meghatározójával.

Ez csökkenti a determinánsokat úgy, hogy az n fokos determináns n-1 n determinánsává váljon. Ha ezt a szabályt egymás után alkalmazzuk, akkor 2-es (2 × 2) vagy 3 (3 × 3) dimenziójú determinánsokat kaphatunk, ahol sokkal könnyebb kiszámítani.

Sarrus szabály

Pierre Frederic Sarrus francia matematikus volt a 19. században. Matematikai munkáinak többsége az egyenletek megoldási módszerein és a variációk kiszámításán alapul, a numerikus egyenleteken belül.

Egyik műveiben megoldotta a mechanika egyik legösszetettebb rejtélyét. A csuklós részek problémáinak megoldása érdekében Sarrus bevezette az alternatív egyenes vonalú mozgások átalakítását, egyenletes körkörös mozdulatokkal. Ezt az új rendszert Sarrus-mechanizmusnak nevezik.

A leghíresebb kutatása, amelyet a matematikusnak adtak, az volt, hogy új módszert vezetett be a determinánsok kiszámításához, a "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Új módszer az egyenletek megoldására) c. 1833. év. Ez a lineáris egyenletek megoldásának módja Sarrus uralma.

A Sarrus szabálya lehetővé teszi egy 3 × 3-as mátrix determinánsának kiszámítását anélkül, hogy a Laplace-tételt kellene használni, sokkal egyszerűbb és intuitívabb módszer bevezetésével. Ahhoz, hogy ellenőrizhessük a Sarrus-szabály értékét, a 3. dimenzió bármely mátrixát vesszük figyelembe:

A determináns kiszámítását a fő átlójainak terméke adja meg, a terméket levonva az inverz átlóból. Ez a következő lenne:

A szarrusz szabály lehetővé teszi számunkra, hogy sokkal egyszerűbb látást kapjunk a determináns átlóinak kiszámításakor. Ez egyszerűsíthető lenne, ha az első két oszlopot hozzáadnánk a mátrix hátoldalához. Így a termék kiszámításához világosan láthatja, hogy melyik a fő átlója, és melyek az inverzek..

Ezzel a képpel láthatjuk a Sarrus-szabály alkalmazását, az 1. és a 2. sorozatot a kezdeti mátrix grafikus ábrázolása alatt találjuk. Ily módon a fő átlók azok a három átló, amelyek először jelennek meg.

A három fordított diagonál viszont azok, amelyek először a hátoldalon jelennek meg.

Ily módon a diagonálok vizuálisabban jelennek meg, anélkül, hogy bonyolítanák a determináns felbontását, és megpróbálják kideríteni, hogy a mátrix mely elemei minden átlóhoz tartoznak.

Ahogy a képen látható, az átlót választjuk ki, és kiszámítjuk az egyes funkciók eredményét. A kékben megjelenő átlók azok, amelyek összeadódnak. Ezek összegéhez a piros színnel megjelenő átlós értékeket vonjuk le.

A tömörítés megkönnyítése érdekében numerikus példát használhatunk az algebrai kifejezések és al-kifejezések használata helyett.

Ha bármilyen 3 × 3 mátrixot veszünk fel, például:

A Sarrus-szabály alkalmazásához és a vizuálisabb megoldáshoz az 1. és a 2. sorba kell sorolni a 4. és 5. sorban. Fontos, hogy az 1. sor a 4. helyen, a 2. sor az 5. helyen legyen. Mert ha kicseréljük őket, a Sarrus szabály nem lesz hatékony.

A meghatározó kiszámításához mátrixunk így néz ki:

A számítás folytatásához meg kell szorozni a fő átlós elemeket. A balról kezdődő csökkenőek pozitív jelet kapnak; míg a fordított átló, amelyek a jobb oldalon kezdődnek, negatív jelet hordoznak.

Ebben a példában a kékek pozitív jeleivel és a pirosakkal negatív jelzéssel járnak. A Sarrus szabály végső számítása így néz ki:

A determinánsok típusai

Az 1. dimenzió meghatározója

Ha a mátrix mérete 1, akkor a mátrix az alábbi formában van: A = (a)

Ezért meghatározója a következő: det (A) = | A | = a

Összefoglalva, az A mátrix meghatározója megegyezik az A mátrix abszolút értékével, amely ebben az esetben a.

A 2. dimenzió meghatározója

Ha a 2. dimenzió mátrixaira megyünk, akkor a következő típusú mátrixokat kapjuk:

Ha meghatározó meghatározása:

Ennek a determinánsnak a felbontása a fő átlójának szorzásán alapul, levonva a terméket az inverz átlójából.

Mnemonikus szabályként a következő ábrát használhatjuk arra, hogy emlékezzünk a determinánsára:

A dimenzió 3 meghatározója

Ha a mátrix mérete 3, akkor a kapott mátrix ilyen típusú lenne:

Ennek a mátrixnak a meghatározója a Sarrus-szabályon keresztül lenne megoldva:

referenciák

1. Jenny Olive (1998) Matematika: Egy tanuló túlélési útmutatója. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30 másodperces matematika: a matematika 50 legelterjedtebb elmélete. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) A 3 × 3-as mátrix determinánsainak kiszámításáról szóló tanulmány. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) A determinánsok és a mátrixok. Pass kiadvány.
6. Jesse Russell (2012) Sarrus szabálya.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Bevezetés a lineáris algebrához. ESIC szerkesztőség.