A közelítő értékek kiszámítása a különbséggel

A matematika közelítése olyan szám, amely nem valami pontos értéke, de olyan közel áll ahhoz, hogy a pontos értéket hasznosnak tartják.

Amikor a matematikában közelítéseket végez, az az, hogy manuálisan nehéz (vagy néha lehetetlen) tudni, hogy mi a pontos érték..

A közelítéssel végzett munka során a fő eszköz a függvény különbsége.

Az f függvény Δf (x) által jelzett különbsége nem több, mint az f függvény deriváltja, szorozva a független változó változásával, azaz Δf (x) = f '(x) * Δx.

Néha a df és a dx a Δf és Δx helyett használatos.

Megközelítések a különbség használatával

A különbségen keresztül történő közelítéshez alkalmazott képlet pontosan a függvény deriváltjának definíciójából származik..

Ezt a képletet adja meg:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Itt nyilvánvaló, hogy Δx = x-x0, ezért x = x0 + Ax. Ennek segítségével a képlet újraírható

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Meg kell jegyezni, hogy az "x0" nem tetszőleges érték, hanem olyan érték, hogy az f (x0) könnyen ismert; Ezenkívül az "f (x)" csak az az érték, amelyet hozzá akarunk közelíteni.

Van-e jobb közelítés?

A válasz igen. Az előző a "lineáris közelítés" nevű közelítés legegyszerűbbje..

A jobb minőségű közelítésekhez (a hiba kisebb) polinomokat használnak, amelyek több származékot neveznek "Taylor polynom" -nak, valamint más numerikus módszereket, például a Newton-Raphson-módszert..

stratégia

A követendő stratégia:

- Válasszon ki egy megfelelő f funkciót a közelítés elvégzéséhez, és az "x" értéket úgy, hogy az f (x) az az érték, amelyet hozzá szeretne közelíteni.

- Válasszon ki egy "x0" értéket, közel az "x" -hez, így az f (x0) könnyen kiszámítható.

- Számolja ki Δx = x-x0.

- Számítsa ki a függvény deriváltját és f '(x0).

- Cserélje ki az adatokat a képletben.

Megoldott közelítő gyakorlatok

A folytatásban van egy sor olyan gyakorlat, ahol a különbségeket közelítjük.

Első gyakorlat

Kb.

megoldás

A stratégiát követve megfelelő funkciót kell választani. Ebben az esetben látható, hogy a választandó függvénynek f (x) = √x-nek kell lennie, és hozzávetőleges értéke f (3) = √3.

Most ki kell választanunk egy "x0" értéket a "3" közelében, hogy az f (x0) könnyen kiszámítható legyen. Ha az "x0 = 2" -t választja, akkor az "x0" közel van a "3" -hoz, de az f (x0) = f (2) = √2 nem könnyű kiszámítani.

Az "x0" érték, amely kényelmes, "4", mert a "4" közel van a "3" -hoz, és f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Ha "x = 3" és "x0 = 4", akkor Δx = 3-4 = -1. Most folytatjuk az f származék kiszámítását. Ez azt jelenti, hogy f '(x) = 1/2 * √x, így f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

A kapott képlet összes értékének helyettesítése:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ha számológépet használunk, akkor azt kapjuk, hogy √3≈1.73205 ... Ez azt mutatja, hogy az előző eredmény egy jó közelítés a valós értékhez.

Második gyakorlat

Kb.

megoldás

Mint korábban, az f (x) = √x függvény, és ebben az esetben x = 10.

Az x0 értéke, amelyet ebben a lehetőségben kell kiválasztani, az "x0 = 9". Ezután az Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 és f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Ha a képletben értékeli, akkor ezt megkapja

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3 666 ...

Egy számológép segítségével ez a √10 ≈ 3.1622776 ... Itt láthatja, hogy jó közelítés érkezett korábban.

Harmadik gyakorlat

Körülbelül ≥ 10, ahol ³√ a köbgyökér.

megoldás

Nyilvánvaló, hogy az ebben a gyakorlatban használandó függvény f (x) = ³√x és az "x" értéke "10"..

A "10" -es értékhez hasonló érték, hogy kocka gyökere ismert, "x0 = 8". Ezután van, hogy Δx = 10-8 = 2 és f (x0) = f (8) = 2. Mi is van, hogy f '(x) = 1/3 * ³√x², és ennek következtében f' (8) = 1/3 * 3√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

A képletben szereplő adatok helyett az alábbiakat kapjuk:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

A számológép azt mondja, hogy √√10 ≈ 2.15443469 ... Ezért a talált közelítés jó.

Negyedik gyakorlat

Körülbelül ln (1,3), ahol az "ln" a természetes logaritmus funkciót jelenti.

megoldás

Először az f (x) = ln (x) függvényt választjuk, és az "x" értéke 1,3. Most, tudva egy kicsit a logaritmus funkciójáról, tudjuk, hogy ln (1) = 0, és az "1" is közel van az "1.3" -hoz. Ezért "x0 = 1" van kiválasztva, így Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Másrészt f '(x) = 1 / x, így f' (1) = 1. Az adott képletben történő értékelés során:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Ha számológépet használ, akkor ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Tehát a becslés jó.

referenciák

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematika: problémamegoldó megközelítés (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 szerk.). Cengage tanulás.
5. Leal, J. M. és Viloria, N. G. (2005). Lapos analitikai geometria. Mérida - Venezuela: szerkesztői Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson oktatás.
7. Purcell, E. J., Varberg, D. és Rigdon, S. E. (2007). számítás (Kilencedik kiadás). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differenciális számítás korai transzcendentális funkciókkal a tudomány és a technika számára (Második kiadás szerk.). átfogó.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian sík geometria, rész: Analitikai kúpok (1907) (reprint ed.). Villámforrás.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson oktatás.