Hogyan juthat el egy Pentagon területhez?

az egy ötszög területét kiszámítják egy háromszögeléssel ismert módszerrel, amely bármely sokszögre alkalmazható. Ez a módszer az ötszög többszörös háromszögre osztását jelenti.

Ezután kiszámítjuk az egyes háromszögek területét, és végül hozzáadjuk az összes talált területet. Az eredmény az ötszög területe lesz.

Az ötszög más geometriai alakzatokra is osztható, mint például a trapéz és a háromszög, mint a jobb oldali ábra.

A probléma az, hogy a fő bázis hossza és a trapéz magassága nem könnyen kiszámítható. Ezen kívül ki kell számítania a piros háromszög magasságát.

Hogyan számítsuk ki az ötszög területét?

Az ötszög területének kiszámításának általános módja a háromszög, de a módszer lehet közvetlen vagy egy kicsit hosszabb attól függően, hogy az ötszög szabályos-e vagy sem..

A rendszeres ötszög területe

A terület kiszámítása előtt meg kell tudni, hogy mi az apothem.

A szokásos ötszög (rendes sokszög) apótja a legkisebb távolság az ötszög (sokszög) közepétől az ötszög (sokszög) egyik oldalának középpontjáig.

Más szóval, az apothem a vonalszakasz hossza, amely az ötszög közepétől egy oldal középpontjáig megy.

Tekintsünk egy szabályos ötszöget úgy, hogy az oldala hossza "L" legyen. Az apothem kiszámításához először ossza meg a középső szöget α az oldalszámok között, azaz α = 360º / 5 = 72º.

Most, a trigonometrikus arányok alkalmazásával, az apothem hosszát a következő kép szerint számítjuk ki.

Ezért az apothem hossza L / 2 tan (36 °) = L / 1,45.

Amikor elkészítjük az ötszög háromszögét, akkor az alábbi ábrát kapjuk.

Az 5 háromszög ugyanazon a területen van (mert rendszeres ötszög). Ezért az ötszög területe 5-szöröse a háromszög területének. Vagyis: egy ötszög területe = 5 * (L * ap / 2).

Az apothem értékének helyettesítése azt eredményezi, hogy a terület A = 1,72 * L².

Ezért a szokásos ötszög területének kiszámításához csak egy oldal hosszát kell tudni.

Egy szabálytalan ötszög területe

Egy szabálytalan ötszögből indul, úgy, hogy oldalai hossza L1, L2, L3, L4 és L5. Ebben az esetben az apothem nem használható, ahogyan azt korábban használták.

Miután elvégezte a háromszögelést, kap egy olyan alakot, mint a következő:

Most folytatjuk az 5 belső háromszög magasságának kiszámítását és kiszámítását.

Ezután a belső háromszögek területei T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 és T5 = L5 * h5 / 2.

A h1, h2, h3, h4 és h5 értékek az egyes háromszögek magasságai.

Végül az ötszög területe az öt terület összege. Vagyis A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Mint látható, a szabálytalan ötszög területének kiszámítása bonyolultabb, mint a rendszeres ötszög területének kiszámítása.

A Gauss meghatározója

Van még egy másik módszer, amellyel kiszámíthatja a szabálytalan sokszög területét, melyet Gauss-determinánsnak nevezünk.

Ez a módszer a sokszög rajzolását jelenti a derékszögű síkban, majd kiszámítjuk az egyes csúcsok koordinátáit.

A csúcsok az óramutató járásával ellentétes irányban vannak felsorolva, és végül bizonyos determinánsok kiszámításra kerülnek, hogy végül megkapják a kérdéses sokszög területét.

referenciák

1. Alexander, D. C. és Koeberlein, G. M. (2014). Elemi geometria a főiskolai hallgatók számára. Cengage tanulás.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
3. Lofret, E. H. (2002). A táblázatok és képletek könyve / A szorzótáblák és képletek könyve. szakértő.
4. Palmer, C. I. és Bibb, S. F. (1979). Gyakorlati matematika: aritmetika, algebra, geometria, trigonometria és dia szabály (reprint ed.). Reverte.
5. Posamentier, A. S. és Bannister, R. L. (2014). Geometria, elemei és szerkezete: második kiadás. Courier Corporation.
6. Quintero, A. H. és Costas, N. (1994). geometria. A szerkesztőség, az UPR.
7. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). geometria. Szerkesztői Tecnologica de CR.
8. Torah, F. B. (2013). Math. 1. ESO didaktikai egység, 1. kötet. Szerkesztői Egyetemi Klub.
9. Víquez, M., Arias, R. és Araya, J. (s.f.). Matematika (hatodik év). EUNED.