Következő származékos termékek (megoldott gyakorlatokkal)

az egymást követő származékok a második származék után egy függvény származékai. Az egymást követő származékok kiszámításának folyamata a következő: van egy f függvényünk, amelyet levezethetünk, és így szerezhetjük az f 'származékos függvényt. Az f ezen deriváltjához ismét levezethetjük, (f ')'.

Ezt az új funkciót második származéknak nevezik; a másodikból számított összes származék egymást követő; Ezek, úgynevezett magasabb rendűek, nagyszerű alkalmazásokkal rendelkeznek, mint például egy függvény grafikonjának ábrázolása, a relatív szélsőségek második derivált tesztje és a végtelen sorozat meghatározása.

index

• 1 Meghatározás
  • 1.1 1. példa
  • 1.2 2. példa
• 2 Sebesség és gyorsulás
  • 2.1 1. példa
  • 2.2 2. példa
• 3 Alkalmazások
  • 3.1. Egyszerűsített származás
  • 3.2 Példa
  • 3.3 Relatív célok
  • 3.4 Példa
  • 3.5 Taylor sorozat
  • 3.6 Példa
• 4 Referenciák

meghatározás

A Leibniz-jelöléssel a függvény "és" "x" -hez viszonyított származéka dy / dx. A Leibniz jelöléssel a "és" második származékának kifejezésére az alábbiakat írjuk:

Általánosságban elmondható, hogy az egymást követő származékokat a Leibniz-jelöléssel fejezhetjük ki, ahol n a derivatív sorrendjét jelenti.

Egyéb felhasznált jelölések a következők:

Néhány példa, ahol a különböző jelöléseket láthatjuk:

1. példa

Az f függvény összes származékának megszerzése:

A szokásos származtatási technikák alkalmazásával az f származéka:

A folyamat ismétlésével megkaphatjuk a második származékot, a harmadik származékot és így tovább.

Ne feledje, hogy a negyedik derivatív nulla, és a nulla derivált értéke nulla, ezért:

2. példa

Számítsa ki a következő függvény negyedik deriváltját:

Ennek eredményeképpen az adott függvény következménye:

Sebesség és gyorsulás

A származék felfedezéséhez vezető egyik motiváció a pillanatnyi sebesség meghatározásának keresése volt. A hivatalos meghatározás a következő:

Legyen y = f (t) olyan függvény, amelynek grafikonja egy részecske görbéjét egy pillanat alatt írja le t, ekkor a sebessége egy pillanat alatt t:

Miután megkaptuk a részecske sebességét, kiszámíthatjuk a pillanatnyi gyorsulást, amelyet a következőképpen definiálunk:

Az y = f (t) által megadott útvonal részecske pillanatnyi gyorsulása:

1. példa

A részecske a pozíciófüggvény szerint mozog egy vonalon:

Ahol az "y" -et méterben és "t" -ban mértük másodpercben.

- Milyen pillanatban a sebesség 0?

- Milyen pillanatban a gyorsulás 0?

A pozíciófüggvény "és" levezetésekor a sebessége és gyorsulása a következő:

Az első kérdés megválaszolásához elegendő annak meghatározása, hogy az v függvény nulla legyen; ez:

Az alábbi kérdést analóg módon folytatjuk:

2. példa

A részecske a következő mozgási egyenlet szerint mozog egy vonalon:

Határozzuk meg a "t, y" és a "v" értéket, ha a = 0.

Tudva, hogy a sebesség és a gyorsulás a

Folytatjuk a következőket:

Ha a = 0, akkor:

Ebből arra következtethetünk, hogy a t értéke n értéke n = t = 1.

Ezután értékeljük a pozíciófunkciót és a t = 1 sebességfüggvényt:

alkalmazások

Egyszerűsített származás

Az egymást követő származékok implicit származással is előállíthatók.

példa

A következő ellipszis alapján keresse meg a "és":

Határozottan az x-hez viszonyítva:

Ezután az x-hez való implicit módon ismételten megadva:

Végül:

Relatív végek

Egy másik felhasználás, amelyet a másodrendű származékoknak adhatunk, egy függvény relatív végeinek kiszámításában van.

A helyi szélsőségek első deriváltjának kritériuma azt mondja nekünk, hogy ha egy f (folytonos) függvényben van egy tartományban (a, b), és létezik olyan c, amely az adott intervallumhoz tartozik, akkor az f 'a c-ben megsemmisült (azaz c) kritikus pont), a három eset egyike előfordulhat:

- Ha f '(x)> 0 az x (a, c) és f' (x) -hez tartozó x-hez<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Ha f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 a (c, b) -hez tartozó x-hez, majd f (c) egy helyi minimum.

- Ha az f '(x) ugyanazt a jelet tartalmazza az (a, c) és a (c, b), akkor azt jelenti, hogy az f (c) nem helyi végpont.

A második származék kritériumát felhasználva tudjuk, hogy egy függvény kritikus száma egy maximális vagy helyi minimum, anélkül, hogy meg kellene nézni, hogy mi a jel a fent említett időközönként..

A második deriválás kritériuma azt mondja, hogy ha az f '(c) = 0 és az f "(x) folyamatos az (a, b) -ben, akkor előfordul, hogy ha f" (c)> 0, akkor f (c) egy helyi minimum és ha f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Ha f "(c) = 0, semmit nem tudunk megkötni.

példa

Az f (x) = x függvény alapján⁴ + (4/3) x³ - 4x², keresse meg a f relatív maximumokat és minimumokat a második származék kritériumát alkalmazva.

Először kiszámítjuk az f '(x) és az f "(x) értéket, és:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Most f '(x) = 0, ha és csak akkor, ha 4x (x + 2) (x - 1) = 0, és ez akkor történik, ha x = 0, x = 1 vagy x = - 2.

Annak eldöntéséhez, hogy a kapott kritikus számok relatív szélsőségek, elegendő az "f" -es értékelés, és ezáltal a jelzés megfigyelése.

f "(0) = - 8, így f (0) egy helyi maximum.

f "(1) = 12, így az f (1) helyi minimum.

f "(- 2) = 24, így f (- 2) egy helyi minimum.

Taylor sorozat

Legyen f egy függvény, amely a következőképpen definiálható:

Ennek a függvénynek a R> 0 konvergencia-sugara van, és a (-R, R) -es összes megrendelés származékai vannak. Az f egymást követő származékai:

Ha x = 0, akkor a c_n származékai alapján:

Ha n = 0, mint f függvényt (azaz f ^ 0 = f), akkor a funkciót a következőképpen írhatjuk át:

Most tekintsük a függvényt sorozatokként x = a:

Ha analóg elemzést végzünk az előzőhöz, akkor az f függvényt kell írni:

Ezeket a sorozatokat az a. Amikor a = 0, akkor az adott eset Maclaurin sorozatnak nevezzük. Az ilyen típusú sorozat nagy matematikai jelentőséggel bír, különösen a numerikus elemzésben, mivel ezeknek köszönhetően funkciókat definiálhatunk olyan számítógépeken, mint pl.^x , sin (x) és cos (x).

példa

Szerezd meg a Maclaurin-t az e^x.

Ne feledje, hogy ha f (x) = e^x, majd f^(N)(x) = e^x és f^(N)(0) = 1, ezért a Maclaurin sorozat:

referenciák

1. Frank Ayres, J., és Mendelson, E. (s.f.). 5-ös számítás. Mc Graw-hegy.
2. Leithold, L. (1992). A számítás analitikai geometriával. HARLA, S.A.
3. Purcell, E. J., Varberg, D. és Rigdon, S. E. (2007). számítás. Mexikó: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Differenciális számítás. átfogó.
5. Saenz, J. (s.f.). Átfogó számológép. átfogó.