Algebrai származékok (példákkal)

az algebrai származékok az algebrai függvények konkrét eseteiben a származék tanulmányozásából állnak. A származékos fogalom eredete az ókori Görögországhoz vezet. Ennek a fogalomnak a kialakulását a két fontos probléma megoldására ösztönözte, egyet a fizikában és a másik a matematikában.

A fizikában a származék megoldja a mozgó tárgy pillanatnyi sebességének meghatározásának problémáját. A matematikában az érintővonalat egy adott pont görbéjére találja.

Bár valóban sokkal több probléma merül fel, amelyek a származékos termék, valamint az általánosítások segítségével oldódnak meg, a koncepció bevezetése után kapott eredmények.

A differenciális számítás úttörői Newton és Leibniz. A formális definíció megadása előtt a mögöttes ötletet matematikai és fizikai szempontból fejlesztjük ki.

index

• 1 A tangens vonal görbéjének lejtése
• 2 A mozgó tárgy pillanatnyi sebességének deriváltja
  • 2.1 Algebrai funkció
• 3 Származási szabályok
  • 3.1 konstansból származtatott
  • 3.2 Teljesítmény származéka
  • 3.3 Összeadásból és kivonásból származtatott
  • 3.4 A termék származéka
  • 3.5 Egy hányadostól származnak
  • 3.6 A lánc szabályozása
• 4 Referenciák

A derivált a tangens vonal görbéjének lejtése

Tegyük fel, hogy az y = f (x) függvény grafikonja egy folyamatos grafikon (csúcsok vagy csúcsok vagy elválasztások nélkül), és hagyja, hogy az A = (a, f (a)) egy fix pont. A tangens vonal egyenletét az A függvény f függvényének gráfjához szeretnénk találni.

Bármely más pontot P = (x, f (x)) a grafikon, közel az A ponthoz, és rajzolja meg az A és P-en áthaladó szekcionált vonalat. vagy több pontot.

Ahhoz, hogy megkapjuk a kívánt érintő vonalat, csak a lejtőt kell kiszámítanunk, mert már van egy pont a vonalon: A pont.

Ha a P pontot a gráf mentén mozgatjuk és közelebb hozzuk és közelítjük az A ponthoz, akkor a fent említett szekvencia-vonal megközelíti a keresni kívánt érintővonalat. A "P" -re való korlátozáskor a határvonal mindkét vonal egybeesik, ezért a lejtők is.

A szekcionált vonal lejtését a

Azt mondani, hogy a P megközelítések A egyenértékűek azzal, hogy az "x" megközelíti az "a" -t. Így az A pontban lévő f gráfhoz tartozó érintővonal lejtése egyenlő:

A fenti kifejezést f '(a) jelöli, és úgy definiáljuk, mint az "a" pont f függvényének származékát. Akkor azt látjuk, hogy analitikusan egy függvény egy származtatott származéka egy határ, de geometrikusan a függvény görbéjének érintőpontja a pont függvényében..

Most a fizika szemszögéből látjuk ezt a fogalmat. Az előző korlát ugyanazon kifejeződésére fogunk jutni, bár másképp is, a meghatározás egyhangúságával.

A származék, mint egy mozgó tárgy pillanatnyi sebessége

Lássunk egy rövid példát arra, hogy mit jelent az azonnali sebesség. Amikor például azt mondják, hogy egy célállomás eléréséhez használt autó 100 km / óra sebességgel tette meg, ami azt jelenti, hogy egy órán belül 100 km-re utazott.

Ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy az egész óra alatt az autó mindig 100 km-re volt, az autó sebességmérője néhány pillanat alatt kevesebbet vagy többet jelezhet. Ha meg kellett állnia egy közlekedési lámpánál, akkor a sebesség 0 km volt. Egy óra múlva azonban az útvonal 100 km volt.

Ez az úgynevezett átlagsebesség, amit az eltelt idő között eltelt távolság hányadosa adja, amint azt most láttuk. A pillanatnyi sebesség ugyanakkor az a sebesség, amely az autó sebességmérőjének tűjét jelzi egy meghatározott pillanatban (idő)..

Nézzük meg általánosabban ezt. Tegyük fel, hogy egy objektum egy vonal mentén mozog, és ezt az elmozdulást az s = f (t) egyenlet jelenti, ahol a t változó az időt és a változót az eltolódás mérésével veszi figyelembe, figyelembe véve annak kezdetét. a t = 0 pillanatban, amikor is nulla, azaz f (0) = 0.

Ezt az f (t) függvényt pozíciófunkciónak nevezzük.

Az objektum pillanatnyi sebességét egy "a" rögzített pillanatban keresjük. Ezzel a sebességgel V (a) jelöljük.

Legyen t azonnali közel az "a" pillanathoz. Az "a" és "t" közötti időintervallumban az objektum pozícióváltozását f (t) -f (a) adja meg.

Ebben az időintervallumban az átlagos sebesség:

Melyik a V (a) pillanatnyi sebesség közelítése. Ez a közelítés jobb lesz, ha t közelebb kerül az "a" -hoz. ezért,

Figyeljük meg, hogy ez az expresszió megegyezik az előző esetben kapott, de más nézőpontból. Ez az "a" pontban lévő f függvény származékaként ismert, és f '(a) jelöli, amint azt fentebb említettük..

Ne feledje, hogy ha a h = x-a változást választjuk, akkor, ha az "x" az "a" -ra, a "h" 0-ra hajlik, és az előző határértéket (egyenértékűen) a következőre:

Mindkét kifejezés egyenértékű, de néha jobb az egyik helyett a másik helyett az esettől függően.

Az f függvény származékát ezután általánosabban definiáljuk minden olyan "x" pontban, amely a tartományához tartozik

Az y = f (x) függvény deriváltjának reprezentálására a leggyakoribb jelölés az, amit most láttunk (f 'o és'). Azonban egy másik széles körben használt jelölés a Leibniz-jelölés, amely a következő kifejezések bármelyikét képviseli:

Tekintettel arra, hogy a származtatott termék lényegében egy limit, lehet, hogy nem létezik, mert a határértékek nem mindig léteznek. Ha létezik, azt mondják, hogy a kérdéses funkció az adott pontban differenciálható.

Algebrai funkció

Az algebrai funkció a polinomok összege összegek, kivonások, termékek, hányadok, hatáskörök és radikálisok kombinációja..

A polinom az űrlap kifejezése

P_n= a_nxⁿ+ hogy_N-1x^N-1+ hogy_n-2x^n-2+... + a₂x²+ hogy₁x + a₀

Ahol n egy természetes szám és az a_én, i = 0,1, ..., n, racionális számok és a_n≠ 0 Ebben az esetben azt mondják, hogy ennek a polinomnak a mértéke n.

Az alábbiakban példák az algebrai funkciókra:

Itt az exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények nem tartoznak ide. Az alábbiakban látható származási szabályok általánosan érvényesek, de az algebrai funkciók esetében korlátozzuk és alkalmazzuk őket..

Kerülő szabályok

Konstansból származtatott

Megállapítja, hogy az állandó konstans értéke nulla. Azaz, ha f (x) = c, akkor f '(x) = 0. Például a 2 állandó függvény deriváltja 0.

Erőből származnak

Ha f (x) = xⁿ, majd f '(x) = nx^N-1. Például az x származéka³ Ez 3x². Ennek következtében az f (x) = x azonosító függvény származéka f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Egy másik példa a következő: f (x) = 1 / x², majd f (x) = x^-2 és f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Ez a tulajdonság is érvényes gyökerek, mert a gyökerek racionális hatáskörök, és a fentieket is alkalmazhatja ebben az esetben. Például a négyzetgyök származékát a

Egy összegből és kivonásból származnak

Ha f és g differenciálható függvények x-ben, akkor az f + g összeg is különbözik, és (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Hasonlóan, (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Más szavakkal: egy összeg származéka (kivonás) a származékok összege (vagy kivonása).

példa

Ha h (x) = x²+x-1

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Egy termékből származik

Ha f és g differenciálható függvények x-ben, akkor az fg termék x-ben is differenciálható, és ez teljesül

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Ennek következtében, ha c konstans és f egy differenciálható függvény x-ben, akkor a cf is differenciálható x és (cf) '(x) = cf' (X).

példa

Ha f (x) = 3x (x²+1)

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Egy hányadosból származik

Ha f és g differenciálható x-ben és g (x), 0-ban, akkor f / g is differenciálható x-ben, és igaz, hogy

például: ha h (x) = x³/ (x²-5x)

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Láncszabály

Ez a szabály lehetővé teszi a funkciók összetételét. Meghatározza a következőket: ha y = f (u) differenciálható az u-ben, yu = g (x) x-ben differenciálható, akkor az f (g (x)) összetett függvény x-ben differenciálható, és meggyőződött arról, hogy [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Ez azt jelenti, hogy a kompozit függvény származéka a külső függvény (külső derivált) származékának a belső függvény (belső derivált) származéka..

példa

Ha f (x) = (x⁴-2x)³, majd

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

A függvény fordított fordulatszámának kiszámításához, valamint a magasabb rendű származékokhoz való általánosítás eredményei is vannak. Az alkalmazások kiterjedtek. Ezek közül kiemelik a segédprogramokat az optimalizálás és a maximális és minimális funkciók problémáiban.

referenciák

1. Alarcon, S., González, M., és Quintana, H. (2008). Differenciális számítás. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Számítás 4000. Szerkesztői Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematika a számítás előtt. Medellini Egyetem.
4. Eduardo N. A. (2003). Bevezetés a számításba. A küszöbértékek.
5. Források, A. (2016). ALAPMATEMATIKA. Bevezetés a számításba. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S. E. és Varberg, D. E. (2007). számítás. Pearson oktatás.
7. Saenz, J. (2005). Differenciális számítás (Második kiadás). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B. és Weir, M. D. (2006). Számítás: több változó. Pearson oktatás.