Részleges frakciók és példák



az részleges frakciók azok a polinomok által alkotott frakciók, amelyekben a nevező lineáris vagy négyzetes polinom lehet, és emellett valamilyen erőre emelhető. Néha, amikor racionális funkciók vannak, nagyon hasznos a funkció átírása részleges frakciók vagy egyszerű frakciók összegeként.

Ez azért van így, mert így jobban manipulálhatjuk ezeket a funkciókat, különösen azokban az esetekben, amikor ezt az alkalmazást integrálni kell. A racionális funkció egyszerűen a két polinom közötti hányados, és lehet, hogy helyes vagy helytelen.

Ha a számláló polinomjának mértéke kisebb, mint a nevező, akkor azt saját racionális funkciójának nevezzük; különben nem megfelelő racionális funkciónak nevezzük.

index

  • 1 Meghatározás
  • 2 Esetek
    • 2.1 1. eset
    • 2.2 2. eset
    • 2.3 3. eset
    • 2.4 4. eset
  • 3 Alkalmazások
    • 3.1 Átfogó számítás
    • 3.2 A tömeges akció törvénye
    • 3.3. Differenciálegyenletek: logisztikai egyenlet
  • 4 Referenciák

meghatározás

Ha nem megfelelő racionális funkciónk van, akkor a számláló polinomját a nevező polinomja között oszthatjuk el, és így átírhatjuk a p (x) / q (x) frakciót, a t (x) + s (x) / x (x) / osztás algoritmusának követésével. q (x), ahol t (x) egy polinom és s (x) / q (x) saját racionális funkciója.

A részleges töredék a polinomok megfelelő funkciója, amelynek nevezője a forma (ax + b).n o (fejsze2+ bx + c)n, ha a polinom axe2 + bx + c nem rendelkezik valós gyökerekkel, és n természetes szám.

Annak érdekében, hogy a racionális függvényt a részfrakciókban átírjuk, az első dolog az, hogy a q (x) nevezőt lineáris és / vagy kvadratikus tényezőként értékeljük. Ha ez megtörtént, meghatározzuk a részleges frakciókat, amelyek az említett tényezők természetétől függenek.

esetek

Különböző eseteket tekintünk külön-külön.

1. eset

A q (x) tényezői lineárisak, és egyik sem ismételhető. Ez az:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Ott nem létezik egy lineáris tényező. Ha ez az eset történik, akkor írunk:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Hol A1,A2,..., As a találandó konstansok.

példa

A racionális funkciót egyszerű frakciókká kívánjuk bontani:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Folytatjuk a nevező faktorizálását, azaz:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

akkor:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

A legkevésbé gyakori többszöri alkalmazásával megkaphatja, hogy:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Meg akarjuk szerezni az A, B és C állandók értékeit, amelyek az egyes kifejezéseket megszakító gyökerek helyettesítésével találhatók. 0 helyettesítése x esetén:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Helyettesítő - 1 x-nek van:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Helyettesítő - 2 x esetén:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Ily módon az A = -1/2, B = 2 és C = -3/2 értékeket kapjuk..

Egy másik módszer az A, B és C értékek eléréséhez. Ha az x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kombinálunk kifejezéseket, van:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Mivel ez a polinomok egyenlősége, a bal oldali együtthatóknak meg kell egyezniük a jobb oldali együtthatókkal. Ez a következő egyenletrendszert eredményezi:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Az egyenletrendszer megoldása során az A = -1/2, B = 2 és C = -3/2 eredményt kapjuk.

Végül a kapott értékek helyettesítése:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

2. eset

A q (x) tényezői lineárisak, és néhány megismétlődik. Tegyük fel, hogy (ax + b) olyan tényező, amely megismétlődik az „s” időkben; ekkor ehhez a faktorhoz az "s" részfrakciók összege felel meg.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Ahol az As,As-1,..., A1 ezek a meghatározandó konstansok. A következő példával megmutatjuk, hogyan határozzuk meg ezeket az állandókat.

példa

Részleges részekre bomlik:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

A racionális függvényt a következő részösszegek összegeként írjuk:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

akkor:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Az x helyett 2-et helyettesítenünk kell:

7 = 4C, azaz C = 7/4.

0 helyettesítése x esetén:

- 1 = -8A vagy A = 1/8.

Ezeknek az értékeknek az előző egyenletben való helyettesítése és fejlesztése:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +dx3 - 2DX2 + korábbi2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Az együtthatók megfelelőségével a következő egyenletrendszert kapjuk:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

A rendszer megoldása:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Emiatt:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

3. eset

A q (x) tényezői négyzetes lineárisak, anélkül, hogy négyzetes tényezőt ismételnének meg. Ebben az esetben a négyzetes tényező (ax2 + bx + c) megfelel a részfrakciónak (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), ahol az A és B konstansok azok, amelyeket meg akarunk határozni.

A következő példa bemutatja, hogyan lehet ebben az esetben folytatni

példa

A (x + 1) / (x3 - 1).

Először a nevező nevét hajtjuk végre, ami eredményeként:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Láthatjuk, hogy (x2 + x + 1) egy redukálhatatlan kvadratikus polinom; vagyis nincs igazi gyökere. Részleges frakciókká történő bomlása a következő:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Ebből az alábbi egyenletet kapjuk:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

A polinomok egyenlőségével a következő rendszert kapjuk:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

E rendszerből A = 2/3, B = - 2/3 és C = 1/3. Helyettesítő, meg kell:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

4. eset

Végül a 4. eset olyan, amelyben a q (x) tényezői lineárisak és kvadratikusak, ahol a lineáris kvadratikus tényezők egy része megismétlődik.

Ebben az esetben igen (fejsze2 + bx + c) egy kvadratikus tényező, amely megismétlődik az "s" időkben, majd a tényezőnek (ax) megfelelő részfrakció.2 + bx + c):

(A1x + B) / (fejsze2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (ax)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (ax)2 + bx + c)s

Ahol az As, As-1,..., A és Bs, Bs-1,..., B a meghatározandó konstansok.

példa

Az alábbi racionális függvényeket részrészekre akarjuk bontani:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Mint x2 - A 4x + 5 egy redukálhatatlan kvadratikus tényező, hogy részleges frakciókká történő bomlását a következőképpen adjuk meg:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Egyszerűsítése és fejlesztése:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

A fentiekből következő egyenletrendszerünk van:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B-4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

A rendszer megoldása során:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 és E = - 3/5.

A kapott értékek cseréjekor:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

alkalmazások

Átfogó számítás

A részleges frakciókat elsősorban az integrált számítás vizsgálatára használjuk. Az alábbiakban néhány példát mutatunk be arra vonatkozóan, hogyan lehet részleges frakciókat alkalmazó integrálokat készíteni.

1. példa

Azt akarjuk, hogy kiszámítsuk a következőket:

Láthatjuk, hogy a q (x) = (t + 2) nevező2(t + 1) lineáris tényezőkből áll, amelyek közül az egyik ismétlődik; ehhez 2 esetben vagyunk.

Meg kell:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Átírjuk az egyenletet, és:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Ha t = - 1, akkor:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ha t = - 2, megadja:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Ezután, ha t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Az A és C értékek helyettesítése:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

A fentiekből B = - 1.

Átírjuk az integrálot:

A helyettesítési módszerrel megoldjuk:

Ennek eredménye:

2. példa

A következő integrál megoldása:

Ebben az esetben q (x) = x értéket tudunk meghatározni2 - 4 a q (x) = (x - 2) (x + 2). Nyilvánvaló, hogy 1. eset van. Ezért:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Ez a következőképpen is kifejezhető:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ha x = - 2, akkor:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

És ha x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Így meg kell oldanunk az adott integrál megoldását:

Ennek eredményeként:

3. példa

Az integrál megoldása:

Q (x) = 9x van4 + x2 , hogy q (x) = x értéket tudunk meghatározni2(9x2 + 1).

Ebben az alkalomban ismételt lineáris tényező és kvadratikus tényező van; azaz a 3-as esetről van szó.

Meg kell:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + dx2

A polinomok csoportosítása és egyenlőségének használata:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Ebből az egyenletrendszerből:

D = - 9 és C = 0

Ily módon:

A fentiek megoldásával:

A tömeges akció törvénye

Az integrált számításra alkalmazott részfrakciók érdekes alkalmazása megtalálható a kémia, pontosabban a tömeghatás törvényében.

Tegyük fel, hogy két anyagunk van: A és B, amelyek összegyűlnek és egy C anyagot képeznek, úgyhogy a C mennyiségének az idő függvényében való származtatása arányos az A és B mennyiségének termékével egy adott pillanatban..

A tömegtörvényt a következőképpen fejezhetjük ki:

Ebben az kifejezésben az a az A és β-nek megfelelő gramm kezdeti mennyisége, amely a B-nek megfelelő kezdeti mennyiség.

Ezen túlmenően r és s az A és B grammok számát képviselik, amelyek kombinálódnak a r + s grammok C-ját alkotják. Részében x jelentése a C anyag grammja a t időpontban, és K a arányosság állandó. A fenti egyenlet átírható:

A következő módosítás:

Van, hogy az egyenlet lesz:

Ebből a kifejezésből beszerezhetjük:

Ahol igen a ≠ b, az integrációhoz részleges frakciókat lehet használni.

példa

Vegyünk például egy C anyagot, amely az A anyag B-vel való kombinálásából származik, oly módon, hogy a tömegek joga teljesüljön, ahol az a és b értékei 8 és 6. Adjon meg egy egyenletet, amely az idő függvényében megadja a C gramm értékét.

Az értékek helyettesítése az adott tömegjogban:

A változók elválasztásakor:

Itt 1 / (8 - x) (6 - x) írható részleges frakciók összegeként, az alábbiak szerint:

Így 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ha x-et helyettesítünk 6-ra, akkor B = 1/2; és x helyettesítése 8-ra, A = - 1/2.

Részleges frakciók integrálása:

Ennek eredményeként:

Differenciálegyenletek: logisztikai egyenlet

A részleges frakciókhoz adható másik alkalmazás a logisztikai differenciálegyenletben van. Egyszerű modellekben azt állítjuk, hogy a populáció növekedési aránya arányos a méretével; azaz:

Ez az eset ideális, és valósághűnek tekinthető, amíg nem történik meg, hogy a rendszerben rendelkezésre álló erőforrások nem elegendőek a lakosság fenntartásához.

Ezekben a helyzetekben ésszerűbb úgy gondolni, hogy van egy maximális kapacitás, amelyet L-nek fogunk hívni, hogy a rendszer fenntartható legyen, és hogy a növekedési ráta arányos a lakosság méretével, szorozva a rendelkezésre álló mérettel. Ez az érv a következő differenciálegyenlethez vezet:

Ezt a kifejezést logisztikai differenciálegyenletnek nevezzük. Ez egy elkülöníthető differenciálegyenlet, amely a részleges frakciókkal megoldható az integrációs módszerrel.

példa

Példa lehetne egy olyan y '= 0,0004y (1000 - y) logisztikai differenciálegyenlet szerint növekvő populációra, amelynek kezdeti adatai 400. A t = 2 időpontban a populáció méretét szeretnénk tudni, ahol t mérjük. években.

Ha a Leibniz-jelöléssel egy és a t-től függő függvényt írunk, akkor:

A bal oldali integrál a részleges frakciók integrációs módszerével megoldható:

Ez az utolsó egyenlőség a következőképpen írható át:

- Az y = 0 helyettesítése A értéke 1/1000.

- Az y = 1000 helyettesítésével B értéke 1/1000.

Ezekkel az értékekkel az integrál a következőképpen marad:

A megoldás:

A kezdeti adatok használata:

Tisztításkor és elhagyottuk:

Ezután t = 2:

Összefoglalva, két év elteltével a népesség nagysága körülbelül 597,37.

referenciák

  1. A, R. A. (2012). Matematika 1. Az Andok Egyeteme. Publikációs Tanács.
  2. Cortez, I. és Sanchez, C. (s.f.). 801 megoldott integrál. Tachirai Nemzeti Kísérleti Egyetem.
  3. Leithold, L. (1992). A számítás analitikai geometriával. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D. és Rigdon, S. E. (2007). számítás. Mexikó: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Átfogó számológép. átfogó.