Matematikai logika, milyen tanulmányok, típusok



az matematikai logika vagy szimbolikus logika olyan matematikai nyelv, amely tartalmazza azokat a szükséges eszközöket, amelyek segítségével a matematikai érvelést meg lehet erősíteni vagy megtagadni.

Jól ismert, hogy a matematikában nincsenek kétségek. Matematikai érv alapján ez érvényes vagy egyszerűen nem. Egyszerre nem lehet hamis és igaz.

A matematika egy sajátos aspektusa, hogy formális és szigorú nyelvvel rendelkezik, amelyen keresztül meg lehet határozni az érvelés érvényességét. Mi az, ami bizonyos érvelést vagy matematikai bizonyítékot vitathatatlanná teszi? Ez az, ami a matematikai logikának szól.

A logika tehát a matematika tudományterülete, amely a matematikai érvelés és a demonstrációk tanulmányozásáért felelős, és olyan eszközöket biztosít, amelyek lehetővé teszik a korábbi megállapítások vagy javaslatok megfelelő következtetéseit.

Ehhez az axiómákat és más, később kidolgozandó matematikai szempontokat alkalmazza.

index

  • 1 Eredet és történelem
    • 1.1 Arisztotelész
  • 2 Milyen matematikai logikai tanulmányok?
    • 2.1 Javaslatok
    • 2.2 Igazságtáblák
  • 3 A matematikai logika típusai
    • 3.1 Területek
  • 4 Referenciák

Eredet és történelem

A matematikai logika számos aspektusának pontos időpontjai bizonytalanok. Azonban a témában található bibliográfiák többsége nyomon követi ennek eredetét az ókori Görögországban.

Arisztotelész

A logika szigorú kezelésének kezdete részben Arisztotelésznek tulajdonítható, aki egy sor logikai munkát írt, amelyeket később a középkorig különböző filozófusok és tudósok gyűjtöttek össze. Ezt „régi logikának” lehet tekinteni.

Ezután a korabeli korban, Leibnizben, amit mélyen vágyott arra, hogy egyetemes nyelvet hozzon létre a matematikai értelemben, és más matematikusok, mint például Gottlob Frege és Giuseppe Peano, nagyban hozzájárultak a matematikai logika fejlesztéséhez nagy hozzájárulásokkal köztük a Peano axiómái, amelyek a természetes számok nélkülözhetetlen tulajdonságait fogalmazzák meg.

A matematikusok, George Boole és Georg Cantor szintén nagy hatással voltak ebben az időben, és fontos szerepet játszottak az elméleti és az igazságügyi táblázatokban, kiemelve többek között a Boole-algebrát (George Boole) és a Choi Axiómát. (George Cantor).

Augustus De Morgan a Morgan jól ismert törvényeivel is rendelkezik, amely a javaslatok, a szimbolikus logika fejlesztésének kulcsait és a híres Venn-diagramokkal kapcsolatos feltételezéseket, kötéseket, diszjunkciókat és feltételeket feltételezi..

A 20. században, kb. 1910 és 1913 között, Bertrand Russell és Alfred North Whitehead kiemelkedik a Principia mathematica, egy sor olyan könyv, amely összegyűjti, fejleszti és postulálja az axiómák és a logikai eredmények sorozatát.

Milyen matematikai logikai tanulmányok?

javaslatok

A matematikai logika a javaslatok tanulmányozásával kezdődik. Az állítás olyan kijelentés, hogy minden bizonytalanság nélkül elmondható, ha igaz vagy sem. A következő példák a javaslatokra:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • 1930-ban földrengés volt Európában.

Az első egy igazi javaslat, a második pedig hamis javaslat. A harmadik, bár lehetséges, hogy az a személy, aki olvassa, nem tudja, hogy igaz-e vagy azonnal, ez egy olyan nyilatkozat, amely ellenőrizhető és meghatározható, ha valóban megtörtént-e vagy sem.

Az alábbi példák olyan kifejezések, amelyek nem javaslatok:

  • Szőke.
  • 2x = 6.
  • Játsszunk!
  • Tetszik a mozi?

Az első javaslatban nincs megadva, hogy ki "ő", ezért semmi nem lehet megerősítve. A második javaslatban nem adtuk meg, hogy mit jelent az "x". Ha ehelyett azt mondták, hogy 2x = 6 bizonyos természetes x számra, ebben az esetben ez egy megfogalmazásnak felelne meg, sőt igaz, mivel x = 3 esetében teljesül.

Az utolsó két állítás nem felel meg egy javaslatnak, mivel nincs mód annak megtagadására vagy megerősítésére.

Két vagy több ajánlat kombinálható (vagy csatlakoztatható) az ismert kötőcsatlakozókkal (vagy csatlakozókkal). Ezek a következők:

  • Elutasítás: "Nem esik eső".
  • Diszjunkció: "Luisa vásárolt egy fehér vagy szürke táskát".
  • Összekötés: "42= 16 és 2 × 5 = 10 ".
  • Feltételes: "Ha esik, akkor ma délután nem megyek az edzőterembe".
  • Biconditional: "Ma délután megyek az edzőterembe, ha és csak akkor, ha nem eső".

Egy olyan javaslat, amely nem rendelkezik az előző kötőanyaggal, egyszerű ajánlatnak (vagy atomnak) nevezik. Például a "2 kisebb, mint 4", egy egyszerű javaslat. Azokat a javaslatokat, amelyek valamilyen kötőanyagot tartalmaznak, összetett javaslatoknak nevezzük, mint például az "1 + 3 = 4 és 4 egy páros szám".

A javaslatok segítségével tett kijelentések általában hosszúak, ezért unalmas, hogy mindig írjuk őket, ahogy eddig láttuk. Ezért szimbolikus nyelvet használnak. A javaslatokat általában nagybetűk, például: P, Q, R, S, stb És a szimbolikus kötés a következő:

Szóval

az kölcsönös feltételes ajánlat

a javaslat

És a contrapositive (vagy ellentétes) egy javaslat

a javaslat

Igazságasztalok

A logikában egy másik fontos fogalom az igazságtáblák. A javaslat igazságértékei azok a két lehetőség, amelyek rendelkezésre állnak egy javaslathoz: az igaz (melyet V jelöli, és az igazságértékét V-nek kell mondani) vagy hamis (amit F jelöli, és az értékét meg kell jelölni) tényleg F).

A vegyületösszetétel igazságértéke kizárólag az abban megjelenő egyszerű javaslatok igazságértékeitől függ.

Az általánosabb munka érdekében nem fogunk figyelembe venni a konkrét javaslatokat, hanem a javasolt változókat p, q, r, s, stb., amely bármilyen javaslatot képvisel.

Ezekkel a változókkal és a logikai összeköttetésekkel a jól ismert feltételezési képletek épülnek, ahogyan összetett állításokat készítenek.

Ha minden egyes változó, amely a javaslati képletben jelenik meg, egy javaslattal van helyettesítve, akkor egy kompozit javaslatot kapunk.

Az alábbiakban a logikai kapcsolatok igazságtáblázatai találhatók:

Vannak olyan feltételes képletek, amelyek csak az V. értéket kapják az igazságtáblájukban, vagyis az igazságtáblázat utolsó oszlopának csak az V. értéke van. Ez a fajta képletek tautológiákként ismertek. Például:

A következő az igazság táblázat a képlet

Azt mondják, hogy az α képlet logikusan tartalmaz egy másik β képletet, ha α igaz minden alkalommal, amikor β igaz. Ez azt jelenti, hogy az α és β igazságtáblázatában az a sorok, ahol α egy V, β, szintén V-vel rendelkezik. Csak azok a sorok, amelyekben az α értéke V, érdekesek a logikai implikáció. :

Az alábbi táblázat összefoglalja a logikai implikáció tulajdonságait:

Azt mondják, hogy két feltételes képlet logikailag egyenértékű, ha igazságtáblázatuk azonos. A következő jelölést használjuk a logikai egyenértékűség kifejezésére:

Az alábbi táblázatok összefoglalják a logikai egyenértékűség tulajdonságait:

A matematikai logika típusai

Vannak különböző logikai típusok, különösen, ha figyelembe vesszük a filozófiára utaló pragmatikus vagy informális logikát, többek között.

Ami a matematikát illeti, a logika típusai az alábbiak szerint foglalhatók össze:

  • Formális vagy arisztotelészi logika (ősi logika).
  • Propozíciós logika: felelős a formális nyelv használatával kapcsolatos érvek és javaslatok érvényességével kapcsolatos mindennapi tanulmányozásért, valamint szimbolikus.
  • Szimbolikus logika: a készletek és tulajdonságaik tanulmányozására összpontosítottak, formális és szimbolikus nyelvvel is, és mélyen kapcsolódik a javaslati logikához.
  • Kombinatorikus logika: az egyik legutóbb kifejlesztett, az algoritmusok által kifejlesztett eredményeket tartalmazza.
  • Logikai programozás: a különböző csomagokban és programozási nyelvekben használható.

nak

A matematikai logikát nélkülözhetetlen módon az érvelésük és érveik kifejlesztésében a filozófiát, az elméletet, a számelméletet, a konstruktív algebrai matematikát és a programozási nyelveket kiemelik..

referenciák

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logika, szettek és számok. Mérida - Venezuela: Publikációs Tanács, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. és Soto, A. (1998). Bevezetés a számelméletbe. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Számelméleti alaptanfolyam. Az Északi Egyetem.
  4. Cofré, A. és Tapia, L. (1995). Hogyan alakítható ki a matematikai logikai érvelés. University Editorial.
  5. Zaragoza, A.C.. Számok elmélete. Szerkesztő Vision könyvek.