Vektor algebra alapjai, nagyságok, vektorok



az vektor algebra egy matematikai ág, amely a lineáris egyenletek, vektorok, mátrixok, vektorterek és lineáris transzformációk rendszerének tanulmányozásáért felelős. Olyan területekhez kapcsolódik, mint a mérnöki munka, a differenciálegyenletek megoldása, a funkcionális elemzés, a műveleti kutatás, a számítógépes grafika..

Egy másik terület, amely a lineáris algebrát elfogadta, a fizika, mert ezzel kifejlesztették a fizikai jelenségek tanulmányozását, vektorok használatával. Ez lehetővé tette a világegyetem jobb megértését.

index

  • 1 Alapismeretek
    • 1.1 Geometrikusan
    • 1.2 Analitikusan
    • 1.3 Axiomatikusan
  • 2 Magasságok
    • 2.1. Scalar nagyságrend
    • 2.2 Vektor nagysága
  • 3 Mik azok a vektorok?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Cím
    • 3.3
  • 4 A vektorok osztályozása
    • 4.1 Rögzített vektor
    • 4.2 Szabad vektor
    • 4.3 Csúszó vektor
  • 5 A vektorok tulajdonságai
    • 5.1 egyenértékű vektorok
    • 5.2 Egyenértékű vektorok
    • 5.3 A vektorok egyenlősége
    • 5.4 Szemben a vektorok
    • 5.5 Egységvektor
    • 5.6 Null vektor
  • 6 A vektor komponensei
    • 6.1 Példák
  • 7 Műveletek vektorokkal
    • 7.1 Vektorok hozzáadása és kivonása
    • 7.2 A vektorok szorzása
  • 8 Hivatkozások

alapok

A vektor algebra a kvaternionok (a valós számok kiterjesztése) 1, i, j és k tanulmányozásából, valamint a Gibbs és Heaviside által támogatott Cartesian geometriából származik, aki rájött, hogy a vektorok eszközként szolgálnak különböző fizikai jelenségeket képviselnek.

A vektor algebrát három alapítványon tanulmányozzák:

mértanilag

A vektorokat olyan irányok képviselik, amelyek orientációval rendelkeznek, és az olyan műveletek, mint a hozzáadás, kivonás és szorzás valós számokkal, geometriai módszerekkel vannak meghatározva..

analitikusan

A vektorok leírása és működésük számokkal történik, az összetevőknek. Ez a leírás egy geometriai ábrázolás eredménye, mert koordinátarendszert használnak.

axiomatically

A vektorok leírása a koordinátarendszertől vagy bármilyen geometriai ábrázolástól függetlenül történik.

A számok tanulmányozása az űrben történik egy referencia-rendszerben való képviseletük révén, amely egy vagy több dimenzióban lehet. A főbb rendszerek közé tartoznak a következők:

- Egydimenziós rendszer, amely egy vonal, ahol az egyik pont (O) az eredetet jelöli, és egy másik pont (P) határozza meg annak méretét (hosszát) és irányát:

- Négyszögletes koordinátarendszer (kétdimenziós), amely két merőleges vonalból, az x-tengelyből és az y-tengelyből áll, amely áthalad egy pont (O) eredeten; ily módon a sík négy területre osztható: quadrant. Ebben az esetben a síkban lévő pontot (P) a tengelyek és a P közötti távolságok adják.

- Poláris koordinátarendszer (kétdimenziós). Ebben az esetben a rendszer egy O pontból (eredet) áll, amelyet pólusnak és sugárnak neveznek, amelynek eredete O poláris tengely. Ebben az esetben a sík P pontja, a pólus és a poláris tengelyre vonatkoztatva, a (Ɵ) szögből adódik, amelyet a P és a P pont közötti távolság képez..

- Téglalap alakú háromdimenziós rendszer, amely három merőleges vonalat (x, y, z) alkot, amelyeknek az űrben O pontja van. Három koordináta síkot alakítanak ki: xy, xz és yz; a teret nyolc régiónak, oktánnak nevezik. A tér P pontjait a síkok és a P közötti távolságok adják meg.

nagyságok

A nagyság olyan fizikai mennyiség, amelyet számszerű értékkel lehet számolni vagy mérni, mint bizonyos fizikai jelenségek esetében; mindazonáltal gyakran szükség van arra, hogy ezeket a jelenségeket más, nem numerikus tényezőkkel írják le. Ezért a nagyságokat két típusba sorolják:

Scalar nagysága

Ezek azok a mennyiségek, amelyek számszerűen vannak meghatározva és ábrázolva; azaz egy modullal együtt egy mértékegységgel. Például:

a) Idő: 5 másodperc.

b) Tömeg: 10 kg.

c) Térfogat: 40 ml.

d) Hőmérséklet: 40ºC.

Vektor nagysága

Ezek azok a mennyiségek, amelyeket egy modul egy egységgel, valamint értelemben és irányban határoz meg és képvisel. Például:

a) Sebesség: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Gyorsulás: 13 m / s2; S 45º E.

c) Erő: 280 N, 120º.

d) Súly: -40 ĵ kg-f.

A vektor nagyságát a vektorok grafikusan ábrázolják.

Mik azok a vektorok?

A vektorok vektor nagyságrendű ábrázolása; azaz olyan egyenes vonalszakaszok, amelyekben végső végük egy nyíl csúcsa.

Ezeket moduljuk vagy szegmensük hossza határozza meg, melyet a nyíl csúcsa és irányuk jelöli a vonalnak, amelyhez tartoznak. A vektor eredete az alkalmazás helyén is ismert.

A vektor elemei a következők:

modul

Ez a távolság az eredetektől a vektor végéig, egy valós számmal együtt egy egységgel. Például:

| OM | = | A | = A = 6 cm

cím

Az x tengely (a pozitív) és a vektor között létező szög mérése, valamint a kardinális pontok (észak, dél, kelet és nyugat) használatosak..

érzék

Ezt a vektor végén található nyílhegy adja meg, jelezve, hogy ez hol van.

Vektorok osztályozása

Általában a vektorok a következők:

Rögzített vektor

Ez az, akinek az alkalmazás helye (eredete) rögzítve van; azaz, hogy a tér egy pontjához kötődik, miért nem lehet ebben a helyzetben eltolódni.

Ingyenes vektor

A térben szabadon mozoghat, mert eredete bármely pontra mozog, anélkül, hogy megváltoztatná a modult, az érzéket vagy az irányt.

Csúszó vektor

Ez az az, amelyik az eredetét a cselekvési vonal mentén mozgathatja a modul, értelem vagy irány megváltoztatása nélkül.

Vektorok tulajdonságai

A vektorok fő tulajdonságai a következők:

Equipolentes vektorok

Ezek azok a szabad vektorok, amelyek ugyanazt a modult, irányt (vagy párhuzamosan) és érzékelik, hogy egy csúszó vektor vagy egy rögzített vektor.

Ekvivalens vektorok

Ez akkor fordul elő, ha két vektor azonos címmel (vagy párhuzamosan), ugyanazzal az értelemben, és annak ellenére, hogy különböző modulok és alkalmazási pontok vannak, ugyanazokat a hatásokat okozják.

A vektorok egyenlősége

Ugyanaz a modul, irány és értelem van, még akkor is, ha a kiindulási pontok eltérőek, ami lehetővé teszi a párhuzamos vektort, hogy önmagát mozgassa anélkül, hogy befolyásolná..

Szemben a vektorok

Ezek azok, amelyeknek ugyanaz a modulja és iránya van, de értelme ellentétes.

Vektor egység

Ez az, amelyben a modul egyenlő az egységgel (1). Ezt úgy kapjuk meg, hogy elválasztjuk a vektorot a moduljával, és azt használjuk, hogy meghatározzuk a vektor irányát és érzékelését, akár síkban, akár térben, a bázis vagy az egységesített normalizált vektorok felhasználásával, amelyek:

Null vektor

Ez az, akinek a modulja 0; azaz származási helyük és szélsőséges egybeesésük ugyanabban a pontban van.

A vektor összetevői

A vektor komponensei a referencia-rendszer tengelyein lévő vektor vetületeinek értékei; A vektor bontásától függően, amely két- vagy háromdimenziós tengelyek lehetnek, két vagy három komponenst kapunk..

A vektor összetevői valós számok, amelyek pozitívak, negatívak vagy akár nulla is lehetnek (0).

Tehát, ha van egy Ā vektorunk, amely egy négyszögletes koordinátarendszerből származik az xy (kétdimenziós) síkban, akkor az x tengelyen lévő vetítés Āx, az y tengelyen lévő vetítés pedig Āy. Így a vektor a komponensvektorok összegeként lesz kifejezve.

Példák

Első példa

Van egy Ā vektorunk, amely a végének eredetétől és koordinátáitól indul. Így a vektor  = (Âx; Aés) = (4; 5) cm.

Ha a vektor a háromdimenziós háromszög koordinátarendszer (térben) x, y, z, egy másik pontra (P) eredetén működik, akkor a tengelyein lévő vetületei Āx, Āy és Āz lesz; így a vektort három komponens vektor összegeként fejezzük ki.

Második példa

Van egy Ā vektorunk, amely a végének eredetétől és koordinátáitól indul. Így a vektor  = (Ax; Aés; AZ) = (4; 6; -3) cm.

A vektorok, amelyeknek négyszögletes koordinátái vannak, az alapvektorjukban kifejezhetők. Ehhez csak az egyes koordinátákat kell megszorozni a megfelelő egységvektorral, oly módon, hogy a sík és a tér számára a következők legyenek:

A síkhoz: Â = Axi + Aésj.

A tér: Â = Axi + Aésj + AZk.

Műveletek vektorokkal

Sok olyan nagyságrend van, amelyeknek van egy modulja, értelme és iránya, például gyorsulás, sebesség, elmozdulás, erő, többek között..

Ezeket a tudomány különböző területein alkalmazzák, és ezek alkalmazásához bizonyos esetekben olyan műveleteket kell végezni, mint a vektorok és skalárok hozzáadása, kivonása, szorzása és felosztása..

A vektorok hozzáadása és kivonása

A vektorok hozzáadása és kivonása egyetlen algebrai műveletnek tekinthető, mivel a kivonás összegként írható; például a vektorok és az Ē kivonása kifejezhető:

- - Ē = + + (-Ē)

A vektorok hozzáadásának és kivonásának elvégzésére különböző módszerek léteznek: ezek grafikusak vagy analitikusak lehetnek.

Grafikus módszerek

Amikor egy vektornak van egy modulja, érzéke és iránya. Ehhez vonalak készülnek, amelyek olyan alakot alkotnak, amely később segít meghatározni az eredményt. A legismertebbek közül a következő:

Párhuzamos módszer

Két vektor hozzáadásához vagy kivonásához a koordináták tengelyén közös pontot választunk ki, amely a vektorok származási pontját képviseli, megtartva annak modulját, irányát és irányát..

Ezután a vonalak párhuzamosak a vektorokkal, hogy párhuzamosan alakítsanak ki. Az eredményül kapott vektor az a diagonális, amely mindkét vektor származási pontjából a párhuzamos program csúcsaig távozik:

Háromszög módszer

Ebben a módszerben a vektorok egymás mellett helyezkednek el, fenntartva a modulokat, irányokat és irányokat. Az eredményül kapott vektor az első vektor eredete és a második vektor vége lesz:

Analitikai módszerek

Két vagy több vektorot adhat hozzá vagy vonhat le geometriai vagy vektor módszerrel:

Geometriai módszer

Ha két vektor háromszöget vagy párhuzamosságot alkot, akkor a kapott vektor modulusa és iránya meghatározható a szinusz és a koszinusz törvényeivel. Így az eredményül kapott vektor modulja, a koszinusz és a háromszög módszer alkalmazásával:

Ebben a képletben β az R oldallal ellentétes szög, és ez 180 ° - -.

Ezzel szemben a párhuzamos programozással a kapott vektormodul:

A kapott vektor irányát a szög (α) adja meg, amely a kapott vektor egyikét képezi.

A szinusz törvénye szerint a vektorok hozzáadását vagy kivonását a háromszög vagy a párhuzamos programozás is elvégezheti, tudva, hogy minden háromszögben az oldalak arányosak a szögek mellével:

Vektoros módszer

Ezt kétféleképpen lehet elvégezni: a téglalap alakú koordinátáktól vagy alapvektorjuktól függően.

Ezt úgy végezhetjük el, hogy áthelyezzük azokat a vektorokat, amelyeket hozzá kell adni vagy levonni kell a koordináták eredetéhez, majd a sík (x, y) vagy tér (x, y) mindegyik tengelyén lévő összes vetületet. és z); végül az összetevőket algebrai módon adják hozzá. Tehát a gép számára:

A kapott vektor modulja:

Míg a térben:

A kapott vektor modulja:

Vektorösszegek végrehajtásakor több tulajdonságot alkalmazunk, amelyek:

- Asszociatív tulajdonság: az eredmény nem változik két vektor hozzáadásával, majd egy harmadik vektor hozzáadásával.

- Kommutatív tulajdonság: a vektorok sorrendje nem változtatja meg az eredményt.

- Vektor eloszlási tulajdonság: ha a skalárot két vektor összegével megszorozzuk, akkor ez egyenlő az egyes vektorok skalárának szorzásával..

- Scalar eloszlási tulajdonság: ha egy vektor két scalár összegével megszorozva van, akkor ez egyenlő a vektor minden szkalárral való szorzásával..

A vektorok szorzata

A vektorok szorzata vagy terméke lehet kiegészítés vagy kivonás, de ezzel elveszíti a fizikai jelentését, és szinte soha nem található meg az alkalmazásokban. Ezért általában a leggyakrabban használt termékek a skalár és a vektori termék.

Scalar termék

A két vektor pontterméke is ismert. Ha a két vektor moduljait a közöttük kialakuló kisebb szög kozinussal megszorozzuk, akkor egy skalárt kapunk. Egy skalár termék két vektor közötti elhelyezéséhez egy pontot helyeznek el közöttük, és ez a következőképpen definiálható:

A két vektor közötti szög értéke attól függ, hogy párhuzamosak vagy merőlegesek-e; Tehát:

- Ha a vektorok párhuzamosak és azonos értelemben vannak, a 0 ° = 1.

- Ha a vektorok párhuzamosak és ellentétes érzékekkel rendelkeznek, a kosinusz 180º = -1.

- Ha a vektorok merőlegesek, 90 ° = 0.

Ez a szög is kiszámítható, tudva, hogy:

A skalár termék a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

- Kommutatív tulajdonság: a vektorok sorrendje nem változtatja meg a skalárt.

-Elosztó tulajdonság: ha egy skalárot két vektor összegével megszorozzunk, akkor ez egyenlő az egyes vektorok skalárának szorzásával..

Vektor termék

A vektorok szorzása vagy két A és B vektor keresztterméke egy új C vektorot eredményez, és a vektorok közötti keresztben kifejezve:

Az új vektornak saját jellemzői lesznek. Ily módon:

- Az irány: ez az új vektor merőleges lesz a síkra, amelyet az eredeti vektorok határozzák meg.

- Az értelem: ezt a jobb kéz szabálya határozza meg, ahol az A vektor a B felé fordul, az ujjaival a forgás irányát mutatva, és a hüvelykujjával a vektor értelme van..

- A modult az AxB vektorok moduljainak szorzata határozza meg, a legkisebb szög szinuszával, amely ezen vektorok között van. Ezt kifejezik:

A két vektor közötti szög értéke attól függ, hogy párhuzamosak vagy merőlegesek-e. Ezután meg lehet erősíteni a következőket:

- Ha a vektorok párhuzamosak és azonos értelemben vannak, a sin 0º = 0.

- Ha a vektorok párhuzamosak és ellentétes érzékekkel rendelkeznek, a sinus 180º = 0.

- Ha a vektorok merőlegesek, a szinusz 90º = 1.

Ha egy vektorterméket az alapvektorok formájában fejeznek ki, akkor:

A skalár termék a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

- Ez nem kommutatív: a vektorok sorrendje megváltoztatja a skalárt.

- Elosztó tulajdonság: ha egy skalárot két vektor összegével megszorozzunk, akkor ez egyenlő az egyes vektorok skalárának szorzásával..

referenciák

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Egyszerű lineáris regresszió" .
  2. Angel, R. R. (2007). Elemi algebra Pearson oktatás,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
  4. Gusiatnikov, P. és Reznichenko S. (s.f.). Algebr és vektoriális példákban. Moszkva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineáris algebra és alkalmazásai. Pearson oktatás.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineáris algebra: Vektor tér. Euklideszi vektor tér. Alicante Egyetem.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineáris algebra szülőhaza.