Párhuzamosan elhelyezett jellemzők, típusok, terület, térfogat

egy paralelepipedon egy geometriai test, amelyet hat arc alkot, melynek fő jellemzője, hogy minden arcuk párhuzamos, és ellentétes arcuk egymással párhuzamos. Ez a mindennapi életünkben gyakori polyhedron, hiszen cipődobozokban, tégla alakjában, mikrohullámú formában stb..

A párhuzamos, a párhuzamos csípő véges térfogatot foglal magában, és az összes lapja lapos. Ez a prizmák csoportjának része, amelyek azok a sokszögűek, amelyekben minden csúcsuk két párhuzamos síkban van..

index

• 1 A párhuzamos csonk elemei
  • 1.1 Arcok
  • 1.2 Szélek
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Átlós
  • 1.5 Központ
• 2 A párhuzamos cső jellemzői
• 3 típus
  • 3.1 Átlós számítás
• 4 Terület
  • 4.1 Egy ortópuszter területe
  • 4.2 A kocka területe
  • 4.3 A rombohedron területe
  • 4.4 Rombusz terület
• 5 A párhuzamosan elhelyezett térfogat
  • 5.1 Tökéletes párhuzamosan
• 6 Irodalom

A párhuzamosan elrendezett elemek elemei

Caras

Mindegyik a párhuzamos röntgensugárzást korlátozó tartományokból áll. A párhuzamosan hat arc van, ahol minden arcnak négy szomszédos felülete van, és egy szemben van. Emellett mindkét oldal párhuzamos az ellenkezőjével.

Aristas

Ezek két arc közös oldala. Összességében egy párhuzamos csípőnek tizenkét széle van.

csúcs

Ez az a pont, ahol három olyan arc van, amelyek két-két egymással szomszédosak. A párhuzamosan nyolc csúcs van.

átlós

A párhuzamos cső két ellentétes oldalát figyelembe véve egy vonalszakaszt rajzolhatunk, amely az egyik oldal csúcsától a másik ellentétes csúcsához vezet..

Ez a szegmens a párhuzamos csík átlójaként ismert. Minden párhuzamosan négy átlóval rendelkezik.

központ

Ez az a pont, ahol az összes diagonál metszi egymást.

A párhuzamos cső jellemzői

Amint említettük, ez a geometriai test tizenkét él, hat arc és nyolc csúcs.

Egy párhuzamos csíkban három, egymással párhuzamos, négy él által alkotott halmaz azonosítható. Ezen túlmenően ezeknek a készleteknek a szélei ugyanazt a hosszúságú tulajdonságot is teljesítik.

A párhuzamosan elhelyezett másik tulajdonság az, hogy konvexek, vagyis ha a párhuzamos csík belsejébe tartozó pontokat veszünk, akkor a pontpár által meghatározott szegmens is a párhuzamosan helyezkedik el..

Ezen túlmenően a konvex polyhedra párhuzamosan elhelyezett párhuzamosok eleget tesznek Euler polihedra-tételének, ami viszonyot ad az arcok száma, az élek száma és a csúcsok száma között. Ezt a kapcsolatot az alábbi egyenlet formájában adjuk meg:

C + V = A + 2

Ezt a funkciót Euler jellemzőnek nevezik.

Ahol C az arcok száma, V a csúcsok száma és A az élek száma.

típus

A párhuzamosan elhelyezett párhuzamokat az arcuk alapján osztályozhatjuk, a következő típusok szerint:

kocka alakú

Ők azok a párhuzamos csigák, ahol az arcukat hat téglalap alkotja. Minden téglalap merőleges azokkal, amelyeken él. Ezek a leggyakoribbak a mindennapi életünkben, mivel ez a cipődobozok és téglák szokásos módja.

Kocka vagy rendszeres hexahedron

Ez az előző eset egy speciális esete, ahol minden arc egy négyzet.

A kocka szintén a platonikus szilárd anyagnak nevezett geometriai testek része. A platonikus szilárdság konvex polihedron, így mind az arcai, mind a belső szögei egyenlőek egymással.

romboedro

Ez egy párhuzamos csípő gyémántokkal az arcán. Ezek a gyémántok mind egyenlőek egymással, mivel megosztják az éleket.

Romboiedro

Hat oldala rombusz. Emlékezzünk rá, hogy egy rombusz négyszögű négyszög és négy szög, amely két-két egyenlő. A romboidok azok a párhuzamosságok, amelyek nem négyszögletesek, nem téglalapok, sem rombuszok.

Másrészről a ferde párhuzamosan elhelyezkedők olyanok, amelyekben legalább egy magasság nem ért egyet a szélével. Ebbe a besorolásba a romboédereket és a rombikédereket is belefoglalhatjuk.

Átlós számítás

Egy ortohedron átlójának kiszámításához használhatjuk a Pythagorai elméletet az R-re³.

Emlékezzünk rá, hogy az ortohedronnak olyan tulajdonsága van, hogy mindkét oldal merőleges a szélekkel megosztott oldalakra. Ebből a tényből arra a következtetésre juthatunk, hogy az egyes élek merőlegesek a csúcspontot megosztókkal.

Egy ortohedron átlójának hosszának kiszámításához a következőképpen járunk el:

1. Kiszámítjuk az egyik arc átlóját, amelyet alapként fogunk felállítani. Ehhez a Pythagorean-tételt használjuk. Adja meg ezt az átlót d_b.

2. Ezután d_b egy új, jobb háromszöget képezhetünk úgy, hogy az említett háromszög hipotenusza a D átlós legyen.

3. Újra használjuk a Pythagorean-tételt, és azt, hogy az említett átló hossza:

A diagonálok grafikusabb kiszámításának másik módja a szabad vektorok összege.

Emlékezzünk vissza, hogy két szabad A és B vektorot adunk hozzá úgy, hogy a B vektor farkát az A vektor hegyével helyezzük el.

A vektor (A + B) az, amely az A farkából indul és B végéhez ér.

Tekintsünk egy párhuzamos csíkot, amelyre egy átlót akarunk kiszámítani.

Az éleket kényelmesen orientált vektorokkal azonosítjuk.

Ezután hozzáadjuk ezeket a vektorokat, és a kapott vektor lesz a párhuzamos csík átlója.

terület

A párhuzamosan elhelyezkedő területet az arcuk minden területének összege adja.

Ha az egyik oldalt alapként határozzuk meg,

A_L + 2A_B = Teljes terület

Hol A_L egyenlő a bázissal szomszédos összes oldal területének, az oldalsó területnek és az A összegnek_B az alapterület.

Attól függően, hogy milyen típusú párhuzamosan dolgozunk, átírhatjuk a képletet.

Egy ortohedron területe

Ezt a képlet adja meg

A = 2 (ab + bc + ca).

1. példa

A következő ortofedővel, a = 6 cm-es oldallal, b = 8 cm-es és c = 10 cm-es számítással számítsa ki a párhuzamosan elhelyezett terület területét és az átlójának hosszát..

Az orthedron területének képletét kell használnunk

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Ne feledje, hogy mivel egy ortohedron, a négy átlója hossza azonos.

A Pythagorean-tétel felhasználásával helyet kell használnunk

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

A kocka területe

Mivel mindegyik él ugyanolyan hosszú, a = b és a = c. Az előző képletben helyettesítjük

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

2. példa

A játékkonzol doboza kocka alakú. Ha azt szeretnénk, hogy ezt a dobozt ajándékpapírral csomagoljuk, mennyi papírt költünk, ha tudnánk, hogy a kocka széleinek hossza 45 cm.?

A kocka területének képletével ezt megkapjuk

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

A rombohedron területe

Mivel minden arcuk egyenlő, elegendő az egyik területének kiszámítása, és hatszorosítása.

A gyémánt területét a következő képlettel lehet kiszámítani az átlóval

A_R = (Dd) / 2

Ennek a képletnek az alapján következik, hogy a rombohedron teljes területe

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

3. példa

A következő rombohedron arcát egy rombusz alkotja, amelynek átlói D = 7 cm és d = 4 cm. A területed lesz

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

A rombusz terület

A rombusz területének kiszámításához ki kell számítanunk a romboidok területét, amelyek azt alkotják. Mivel a párhuzamos csigák megfelelnek annak a tulajdonságnak, amelyet az ellenkező oldalak azonos területtel rendelkeznek, az oldalakat három párban tudjuk társítani.

Így van, hogy a területed lesz

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Ahol a b_én az oldalakhoz és a_én relatív magassága az említett bázisoknak megfelelően.

4. példa

Figyeljük meg a következő párhuzamos csíkokat,

ahol az A oldal és az A 'oldala (ellentétes oldala) b = 10 és h = 6 magasságú.

A₁ = 2 (10) (6) = 120

A B és B 'ekkor b = 4 és h = 6

A₂ = 2 (4) (6) = 48

És C és C 'b = 10 és h = 5, így

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Végül a rombohedron területe

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Egy párhuzamos csípés térfogata

Az a képlet, amely egy párhuzamosan elhelyezett térfogatot ad nekünk, az egyik arcának területe az említett arcnak megfelelő magasságnak felel meg..

V = A_Ch_C

A párhuzamos csípés típusától függően az említett képlet egyszerűsíthető.

Tehát például van, hogy egy ortohedron térfogatát adná

V = abc.

Ahol a, b és c az ortohedron élek hosszát képviselik.

És a kocka különleges esete

V = a³

1. példa

A cookie-k dobozainak három különböző modellje van, és azt szeretné tudni, hogy melyik modellben tárolhat több cookie-t, azaz melyik doboz a legmagasabb.

Az első olyan kocka, amelynek élének hossza a = 10 cm

A térfogata V = 1000 cm³

A második szélén b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Ezért a térfogata V = 765 cm³

A harmadik pedig e = 9 cm, f = 9 cm és g = 13 cm

A térfogata V = 1053 cm³

Ezért a legnagyobb térfogatú doboz a harmadik.

A párhuzamosan elhelyezett térfogat megszerzésének másik módszere a vektor algebra alkalmazása. Különösen a hármas skalár termék.

A háromszoros skalár termékkel rendelkező geometriai értelmezések egyike a párhuzamos csík térfogata, amelynek élei három olyan vektor, amelyek ugyanazt a csúcsot használják kiindulási pontként.

Ilyen módon, ha van egy párhuzamos csíkunk, és szeretnénk tudni, hogy milyen a kötet, elég ahhoz, hogy egy R koordinátarendszerben ábrázolja azt.³ az egyik csúcsa egyezik az eredettel.

Ezután azokat az éleket ábrázoljuk, amelyek az eredetben az ábrán látható vektorokkal egyeznek.

Ilyen módon az említett párhuzamosan elhelyezett térfogatot a

V = | AxB ∙ C |

Ehhez hasonlóan a térfogat a 3 × 3 mátrix meghatározója, amelyet a szélvektorok komponensei alkotnak.

2. példa

A következő párhuzamosan ábrázolt R jelzéssel³ láthatjuk, hogy a meghatározó vektorok a következők

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) és w = (-0,25, -4, 4)

A hármas skalár termék használatával

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Ebből arra következtetünk, hogy V = 60

Most tekintsük meg a következő párhuzamos csavart az R3-ban, amelynek élét a vektorok határozzák meg

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) és C = (3, 4, 4)

A determinánsok használata ezt adja

Tehát a párhuzamosan elhelyezett térfogata 112.

Mindkettő egyenértékű a kötet kiszámítására.

Tökéletes párhuzamosan

Euler tégla (vagy Euler blokk) néven ismert egy ortofonnak, amely teljesíti azt a tulajdonságot, hogy mindkét élének hossza és az egyes arcok átlóinak hossza egész szám..

Míg Euler nem volt az első tudós, aki tanulmányozta az ortofonokat, amelyek megfelelnek az adott tulajdonságnak, érdekes eredményeket talált róluk.

A kisebb Euler téglát Paul Halcke fedezte fel, szélei hossza a = 44, b = 117 és c = 240.

A számelmélet nyitott problémája a következő

Vannak tökéletes orthohedronok?

Jelenleg ezt a kérdést nem lehet megválaszolni, mivel nem lehetett bizonyítani, hogy ezek a szervek nem léteznek, de egyiket sem találtak..

Ami eddig kimutatták, hogy tökéletes párhuzamosan léteznek. Az elsõ felfedezendõ élek hossza 103, 106 és 271.

bibliográfia

1. Guy, R. (1981). A számelméletben megoldatlan problémák. ugró.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. haladás.
3. Leithold, L. (1992). A számítás analitikai geometriával. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Műszaki rajz: 3. munkafüzet 2. Baccalaureate . tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. és Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexikó: Continental.