Termék kereszt tulajdonságai, alkalmazások és megoldott gyakorlatok

az Cross termék vagy termék vektor A két vagy több vektor többszörözésének módja. A vektorok szaporítására háromféle mód létezik, de ezek közül egyik sem a megszokott szavakban való szorzás. Az egyik ilyen forma vektortermékként ismert, amely egy harmadik vektort eredményez.

A vektor terméknek, amelyet kereszt-terméknek vagy külső terméknek is neveznek, különböző algebrai és geometriai tulajdonságai vannak. Ezek a tulajdonságok nagyon hasznosak, különösen a fizika tanulmányozásában.

index

• 1 Meghatározás
• 2 Tulajdonságok
  • 2.1 Tulajdonságok 1
  • 2.2 Tulajdonság 2
  • 2.3 Tulajdonság 3
  • 2.4 Tulajdonság 4 (hármas skalár termék)
  • 2.5 Tulajdonság 5 (hármas vektor termék)
  • 2.6 Ingatlan 6
  • 2.7 Ingatlan 7
  • 2.8 Ingatlan 8
• 3 Alkalmazások
  • 3.1 Egy párhuzamosan elhelyezett térfogat számítása
• 4 A gyakorlatok megoldása
  • 4.1 1. gyakorlat
  • 4.2 2. gyakorlat
• 5 Referenciák

meghatározás

A vektor termék formális meghatározása a következő: ha A = (a1, a2, a3) és B = (b1, b2, b3) vektorok, akkor az A és B vektortermék, amelyet AxB-nek jelölünk, az:

AxB = (a2b3 - A3b2, A3B1 - a1b3, A1B2 - A2B1)

Az AxB jelölés miatt "A kereszt B" -nek számít.

A külső termék használatának példája az, hogy ha A = (1, 2, 3) és B = (3, -2, 4) vektorok, akkor a vektortermék definícióját használjuk:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

A vektortermék expressziójának másik módját a determináns jelölés adja.

A második sorrend meghatározójának kiszámítását a következő:

Ezért a definícióban megadott vektortermék képlete a következőképpen írható át:

Ezt általában a harmadik sorrend meghatározója egyszerűsíti:

Ahol i, j, k jelentik az R alapját képező vektorokat³.

Ezzel a kereszttermék kifejezésével ezt az előző példát át lehet írni:

tulajdonságok

Néhány tulajdonság, amelyet a vektor termék rendelkezik, a következő:

Ingatlan 1

Ha A bármely R vektor³, Meg kell:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Ezeket a tulajdonságokat egyszerűen csak a definíció segítségével lehet ellenőrizni. Ha A = (a1, a2, a3):

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ha i, j, k képviseli az R egységegységét³, A következőképpen írhatunk:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Ezután meg kell felelnie a következő tulajdonságoknak:

Mnemonikus szabályként, hogy ezeket a tulajdonságokat emlékezzük, általában a következő kört használják:

Meg kell jegyeznünk, hogy bármely vektor önmagában 0-at eredményez, és a többi termék a következő szabály szerint szerezhető be:

A két egymást követő vektor az óramutató járásával megegyező irányban adja meg a következő vektorot; és az óramutató járásával ellentétes irányt figyelembe véve az eredmény a következő vektor negatív jele.

Ezeknek a tulajdonságoknak köszönhetően láthatjuk, hogy a vektor termék nem kommutatív; például elég észrevenni, hogy i x j ≠ j x i. A következő tulajdonság azt mondja el nekünk, hogy az AxB és a BxA általában összefüggenek.

Ingatlan 2

Ha A és B R vektorok³, Meg kell:

AxB = - (BxA).

mutat

Ha A = (a1, a2, a3) és B = (b1, b2, b3), definíció szerint a külföldi termék:

AxB = (a2b3 - A3b2, A3B1 - a1b3, A1B2 - A2B1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Azt is megfigyelhetjük, hogy ez a termék nem asszociatív az alábbi példával:

ix (ixj) = ixk = - j, de (ixi) xj = 0xj = 0

Ebből megfigyelhetjük, hogy:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Ingatlan 3

Ha A, B, C R vektorok³ és r valós szám, a következő igaz:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Axe (rB)

Ezeknek a tulajdonságoknak köszönhetően kiszámíthatjuk a vektorterméket az algebra törvényeivel, feltéve, hogy a rendet tiszteletben tartják. Például:

Ha A = (1, 2, 3) és B = (3, -2, 4), átírhatjuk őket az R kanonikus alapja alapján.³.

Így A = i + 2j + 3k és B = 3i - 2j + 4k. Ezután az előző tulajdonságokat alkalmazva:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Tulajdonság 4 (hármas skalár termék)

Amint az elején említettük, a vektorok mellett a vektorok szaporodásának más módjai is vannak. Az egyik ilyen módszer a skaláris termék vagy belső termék, amelyet A ∙ B-nek jelölnek, és amelynek meghatározása:

Ha A = (a1, a2, a3) és B = (b1, b2, b3), akkor A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

A mindkét terméket érintő tulajdonság a hármas skalár termék.

Ha A, B és C R vektorok³, majd A ∙ BxC = AxB ∙ C

Például nézzük meg, hogy A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) és C = (- 5, 1, - 4) esetén ez a tulajdonság teljesül.

BXC = - 3k - 12j + 20K - 16i - 10J - 2i = - 18i - 22j + 17K

A = BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Másrészt:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Egy másik hármas termék az Ax (BxC), amely háromszoros vektor termék.

5. tulajdonság (hármas vektor termék)

Ha A, B és C R vektorok³,  akkor:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Például nézzük meg, hogy A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) és C = (- 5, 1, - 4) esetén ez a tulajdonság teljesül.

Az előző példából tudjuk, hogy BxC = (- 18, - 22, 17). Számítsuk ki az Axet (BxC):

Ax (BXC) = - 22K - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27I + 19j - 4K

Másrészről:

A = C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Tehát:

(A ° C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Ingatlan 6

Ez a vektorok geometriai tulajdonságainak egyike. Ha A és B két vektor az R-ben³ és Θ a közöttük kialakult szög, majd:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), ahol || ∙ || a vektor modulját vagy nagyságát jelöli.

A tulajdonság geometriai értelmezése a következő:

Legyen A = PR és B = PQ. Ezután az A és B vektorok által képzett szög az RQP háromszög P szöge, amint az a következő ábrán látható.

Ezért a szomszédos PR és PQ oldalakkal párhuzamosan elhelyezkedő terület a || A |||| B || sin (Θ), mivel alapként || A || és magasságát a || B || sin (Θ) adja meg.

Emiatt arra a következtetésre juthatunk, hogy || AxB || a paralelogramma területe.

példa

A P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) és S (5,7, -3) négyszögek következő csúcsait mutatja, hogy a négyszög egy párhuzamos program, és megtalálja a területét.

Ehhez először meg kell határozni azokat a vektorokat, amelyek meghatározzák a négyszög oldalainak irányát. Ez a következő:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Ahogy megfigyelhetjük, hogy A és C ugyanazzal a vektor-rendezővel rendelkezik, amire mindkettő párhuzamos; így ugyanúgy történik, mint B-vel és D-vel. Ezért arra a következtetésre jutunk, hogy a PQRS egy paralelogramma.

Ahhoz, hogy a paralelogramma területe legyen, kiszámítjuk a BxA-t:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Ezért a négyzetes terület:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Megállapítható, hogy a párhuzamos programozási terület a 89 négyzetgyök lesz.

Ingatlan 7

Két A és B vektor párhuzamos R-ben³ igen és csak akkor, ha AxB = 0

mutat

Nyilvánvaló, hogy ha A vagy B a nullvektor, az következik, hogy AxB = 0. Mivel a nulla vektor párhuzamos bármely más vektorral, akkor a tulajdonság érvényes.

Ha a két vektor egyike sem a nulla vektor, akkor a nagyságuk nulla; vagyis mindkettő || A || ≠ 0 mint || B || ≠ 0, ezért kell || AxB || = 0, ha és csak akkor, ha sin (Θ) = 0, és ez akkor és csak akkor történik, ha Θ = π vagy π = 0.

Ezért az AxB = 0 akkor és csak akkor zárható le, ha B = π vagy conclude = 0, ami csak akkor fordul elő, ha mindkét vektor párhuzamos egymással.

Ingatlan 8

Ha A és B két vektor az R-ben³, akkor az AxB merőleges az A és B egyaránt.

mutat

Ehhez a demonstrációhoz ne feledje, hogy két vektor merőleges, ha A ∙ B nulla. Továbbá tudjuk, hogy:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, de AxA 0-nak felel meg. Ezért:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Ezzel arra a következtetésre juthatunk, hogy az A és az AxB egymásra merőlegesek. Analóg módon:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Mivel BxB = 0, meg kell:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Ezért az AxB és a B egymásra merőlegesek, és ezzel bizonyítják a tulajdonságot. Ez nagyon hasznos, mivel lehetővé teszik számunkra egy sík egyenletének meghatározását.

1. példa

A P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) és R (2, 1, 3) pontokon áthaladó sík egyenletének megszerzése.

Legyen A = QR = (2-3,1 + február 3-02) és B = PR = (2-1,1 - 3. 3-2). Ezután A = - i + 3j + K és B = I - k 2j +. Ahhoz, hogy megtalálja síkjának a három pontot ahhoz, hogy megtalálják a vektor, amely merőleges a síkra, amely AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Ezzel a vektorral és a P (1, 3, 2) pontot figyelembe véve a sík egyenletét a következőképpen határozhatjuk meg:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Tehát van, hogy a sík egyenlete 5x + 2y - z - 9 = 0.

2. példa

Keresse meg a P (4, 0, - 2) pontot tartalmazó sík egyenletét, amely merőleges az x - y + z = 0 és 2x + y - 4z - 5 = 0 síkokra. .

Tudva, hogy egy normál vektor egy ax + + cz + d = 0 síkban (a, b, c), akkor (1, -1,1) egy x - y + z = 0 y normál vektor. 2.1, - 4) egy normál vektor, 2x + y - 4z - 5 = 0.

Ezért a normál vektornak a kívánt síkra merőlegesnek kell lennie az (1, -1,1) és a (2, 1, - 4) felé. Az említett vektor:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Aztán megvan, hogy a keresett sík az, amely tartalmazza a P (4,0, - 2) pontot, és a vektor (3,6,3) normális vektorként van.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

alkalmazások

Egy párhuzamos cső térfogatának kiszámítása

A hármas skaláris termékkel rendelkező alkalmazásnak képesnek kell lennie arra, hogy kiszámítsa egy párhuzamos csík térfogatát, amelynek élét az A, B és C vektorok adják meg, az ábrán látható módon:

Ezt az alkalmazást az alábbiak szerint tudjuk levonni: ahogy azt korábban említettük, az AxB vektor egy olyan vektor, amely normális az A és B síkjához..

Kiválasztjuk a normál vektort, amely a legkisebb szöget képezi a C vektorral; az általánosság elvesztése nélkül hagyja, hogy az AxB legyen a vektor, amelynek szöge a C-vel a legkisebb.

Van, hogy mind az AxB, mind a C ugyanolyan kiindulási ponttal rendelkezik. Ezenkívül tudjuk, hogy a párhuzamos résfelület, amely a párhuzamos csípő alapja, a || AxB ||. Ezért, ha a párhuzamosan elhelyezett magasságot h adja meg, akkor a kötetének értéke:

V = || AxB || h.

Másrészről az AxB és a C közötti skaláris terméket vizsgáljuk, amely a következőképpen írható le:

Azonban trigonometrikus tulajdonságokkal rendelkezünk, hogy h = || C || cos (Θ), így:

Ily módon:

Általánosságban elmondható, hogy a párhuzamos csípés térfogatát az AxB ∙ C hármas skaláris termék abszolút értéke adja meg..

Megoldott gyakorlatok

1. gyakorlat

A P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) és S = (2, 6, 9) pontokat figyelembe véve ezek a pontok párhuzamosan képeznek, amelyek élek ezek PQ, PR és PS. Határozzuk meg a párhuzamosan elhelyezett cső térfogatát.

megoldás

Ha figyelembe vesszük:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

A hármas skalár termék tulajdonságait használva:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.

Ezért van, hogy az említett párhuzamosan elhelyezett térfogata 52.

2. gyakorlat

Határozzuk meg azt a párhuzamosan elhelyezett csuklót, amelynek élét A = PQ, B = PR és C = PS adja meg, ahol a P, Q, R és S pontok (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) és (2, 2, 5).

megoldás

Először az A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Kiszámítjuk az AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Ezután kiszámítjuk az AxB ∙ C értéket:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Így arra a következtetésre jutunk, hogy az említett párhuzamosan elhelyezett térfogat 1 köbméter.

referenciák

1. Leithold, L. (1992). A számítás analitikai geometriával. HARLA, S.A.
2. Resnick, R., Halliday, D. és Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexikó: Continental.
3. Saenz, J. (s.f.). Vektor számítás 1. átfogó.
4. Spiegel, M. R. (2011). Vektorelemzés 2ed. Mc Graw-hegy.
5. Zill, D. G., és Wright, W. (2011). Különböző változók kiszámítása 4ed. Mc Graw-hegy.