Mik a relatív unokatestvérek? Jellemzők és példák

Ezt hívják relatív unokatestvérek (az egymáshoz viszonyított koprózok vagy unokatestvérek) bármely olyan egész számhoz, amelyeknek nincs közös osztója, kivéve az 1-et..

Más szóval, két egész szám viszonylagos unokatestvérek, ha a prímszámok bontásában nincs közös tényezőjük.

Például, ha a 4 és a 25-et választjuk, akkor mindegyik elsődleges tényező-dekompozíciója 2 ² és 5². Amint azt elismerjük, ezeknek nincs közös tényezőjük, ezért a 4 és 25 relatív unokatestvérek.

Másrészről, ha a 6 és a 24-et választjuk, amikor az elsődleges tényezőkben lebontásukat végzik, akkor 6 = 2 * 3 és 24 = 2³ * 3.

Mint látható, ezek az utolsó két kifejezés legalább egy közös tényezővel bír, ezért nem relatív prímek.

Relatív unokatestvérek

Az egyik dolog, hogy legyen óvatos, az, hogy az egész számok párja viszonylagos prímeket jelent, hogy ez nem jelenti azt, hogy bármelyikük elsődleges szám.

Másrészről a fenti definíció a következőképpen foglalható össze: két „a” és „b” egész szám relatív prím, ha és csak akkor, ha ezek legnagyobb közös osztója 1, azaz mcd ( a, b) = 1.

E definíció két közvetlen következtetése az, hogy:

-Ha "a" (vagy "b") egy prímszám, akkor mcd (a, b) = 1.

-Ha "a" és "b" a prímszámok, akkor mcd (a, b) = 1.

Azaz, ha a kiválasztott számok közül legalább az egyik elsődleges szám, akkor közvetlenül a számpárok relatív prímek.

Egyéb funkciók

A két szám relatív prímszámának meghatározásához használt egyéb eredmények:

-Ha két egész szám egymást követő, akkor ezek viszonylagos unokatestvérek.

-Két természetes szám "a" és "b" relatív prím, ha és csak akkor, ha a "(2 ^ a) -1" és "(2 ^ b) -1" számok relatív prímek.

-Két "a" és "b" egész szám relatív prím, ha és csak akkor, ha a pontot (a, b) a Dekartusz síkban ábrázolja, és létrehozza azt a vonalat, amely áthalad az eredeten (0,0) és (a) , b) nem tartalmaz olyan pontokat, amelyek teljes koordinátákkal rendelkeznek.

Példák

1.- Tekintsük az 5-ös és 12-es egész számokat. Mindkét szám elsődleges tényező-lebontása: 5 és 2² * 3. Következésképpen a gcd (5,12) = 1, tehát 5 és 12 relatív prímek.

2.- Legyen a -4 és a 6. Ezután -4 = -2² és 6 = 2 * 3, hogy az LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Végezetül -4 és 6 nem relatív unokatestvérek.

Ha folytatjuk a rendezett párokon (-4.6) és (0.0) áthaladó vonal grafikonját, és meghatározzuk a sor egyenletét, ellenőrizhetjük, hogy áthalad a ponton (-2.3).

Ismét azt a következtetést vontuk le, hogy -4 és 6 nem relatív unokatestvérek.

3.- A 7-es és 44-es számok viszonylagos prímek, és a fentieknek köszönhetően gyorsan befejezhetők, mivel a 7 elsődleges szám.

4.- Tekintsük a 345 és 346 számokat. Két egymást követő számként igazoljuk, hogy az mcd (345,346) = 1, tehát 345 és 346 relatív prímek.

5.- Ha figyelembe vesszük a 147 és 74 számokat, akkor ezek relatív unokatestvérek, hiszen 147 = 3 * 7² és 74 = 2 * 37, ezért a gcd (147,74) = 1.

6.- A 4. és 9. szám relatív prímek. Ennek igazolására a fent említett második jellemzés használható. Valójában 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 és 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

A kapott számok 15 és 511. Ezeknek a számoknak az elsődleges tényezőjének lebontása 3 * 5 és 7 * 73, így az mcd (15 511) = 1.

Mint látható, a második jellemzés használata hosszabb és munkaigényesebb feladat, mint annak közvetlen ellenőrzése.

7.- Tekintsük a -22 és -27 számokat. Ezután ezeket a számokat újra lehet írni: -22 = -2 * 11 és -27 = -3³. Ezért a gcd (-22, -27) = 1, így -22 és -27 relatív prímek.

referenciák

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. és Soto, A. (1998). Bevezetés a számelméletbe. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetikai elemek. A Calleja királyai és gyermekei fiai könyvesboltja.
3. Castañeda, S. (2016). Számelméleti alaptanfolyam. Az Északi Egyetem.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Az egész számok halmaza. EUNED.
5. Tanárképző intézet (Spanyolország), J. L. (2004). Számok, formák és kötetek a gyermek környezetében. Oktatási Minisztérium.
6. Palmer, C. I. és Bibb, S. F. (1979). Gyakorlati matematika: aritmetika, algebra, geometria, trigonometria és dia szabály (reprint ed.). Reverte.
7. Rock, N. M. (2006). Algebra I könnyű! Olyan egyszerű. Csapat Rock Press.
8. Smith, S. A. (2000). algebra. Pearson oktatás.
9. Szecsei D. (2006). Alapvető matematika és pre-algebra (illusztrált szerk.). Karrier Sajtó.
10. Toral, C., és Preciado, M. (1985). 2. matematikai kurzus. Szerkesztői Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A. és Colorado, H. (2010). A számtani alapelvek. ELIZCOM S.A.S.