Bayes-tételes magyarázat, alkalmazások, gyakorlatok



az Bayes-tétel egy olyan eljárás, amely lehetővé teszi számunkra, hogy az A adott B esemény egy véletlen esemény feltételes valószínűségét fejezzük ki a B esemény bekövetkezésének valószínűségi eloszlása ​​és az A valószínűségi eloszlása ​​szempontjából..

Ez a tétel nagyon hasznos, mert ennek köszönhetően az A esemény előfordulásának valószínűsége tudható, hogy B bekövetkezik azzal a valószínűséggel, hogy az ellenkezője előfordul, vagyis, hogy B adott A.

A Bayes-tétel egy Thomas Bayes tiszteletes, egy tizennyolcadik századi angol teológus, aki szintén matematikus volt, ezüst ajánlat. Több teológia-alkotás szerzője volt, de jelenleg néhány matematikai tréningről ismert, amelyek közül a fent említett Bayes-tétel a fő eredményként tűnik ki..

Bayes az 1763-ban közzétett, 1763-ban közzétett tanulmányban egy "A esszé az esélyek problémájának megoldása felé" című tanulmányban foglalkozott ezzel a tételgel. Tanulmányok a tudás különböző területein.

index

  • 1 Magyarázat
  • 2 A Bayes-tétel alkalmazása
    • 2.1 Megoldott gyakorlatok
  • 3 Referenciák

magyarázat

Először is, ennek a tételnek a további megértéséhez szükség van a valószínűségi elmélet néhány alapvető fogalmára, különösen a feltételes valószínűség szorzótételére, amely kimondja, hogy

Az S és E minták tetszőleges eseményei.

És a partíciók meghatározása, amely azt mondja nekünk, hogy ha van A1 ,A2,..., An egy S mintatér eseményei, ezek egy S partíciót alkotnak, ha az Aén kölcsönösen kizárják egymást, és az unió S.

Ezáltal B legyen egy másik esemény. Aztán láthatjuk B-t

Ahol az Aén A B-vel metszett egymást kölcsönösen kizáró események.

És következésképpen,

Ezután a szorzási tételt alkalmazva

Másrészről az Ai-nak adott B feltételes valószínűségét a

Megfelelő helyettesítésre van szükség minden i-re

Bayes-tétel alkalmazása

Az eredménynek köszönhetően a kutatócsoportok és a különböző vállalatok sikerült javítaniuk a tudáson alapuló rendszereket.

Például a betegségek tanulmányozásában a Bayes-tétel segíthet észlelni annak a valószínűségét, hogy egy adott jellemzővel rendelkező betegcsoportban egy betegség megtalálható, figyelembe véve a betegség globális arányát és az említett jellemzők túlsúlyát. egészséges és beteg emberek.

Másrészt, a magas technológiák világában befolyásolta a nagyvállalatokat, amelyek ennek az eredménynek köszönhetően fejlesztették ki a „Tudás alapú” szoftvert..

Mindennapi példaként a Microsoft Office asszisztense van. A Bayes-tétel segíti a szoftvert abban, hogy felmérje azokat a problémákat, amelyeket a felhasználó bemutat, és meghatározza, hogy milyen tanácsokat adjon, és így jobb szolgáltatást tudjon nyújtani a felhasználó szokásainak megfelelően..

Meg kell jegyezni, hogy ezt a képletet a közelmúltig figyelmen kívül hagyták, főként annak a ténynek köszönhető, hogy amikor ezt az eredményt 200 évvel ezelőtt fejlesztették ki, kevés gyakorlati felhasználás volt számukra. Azonban a mi korunkban, a nagy technológiai fejlődésnek köszönhetően, a tudósok elérték az eredményeket a gyakorlatban.

Megoldott gyakorlatok

1. gyakorlat

A cellás vállalatnak két A és B gépe van. A gyártott mobiltelefonok 54% -át az A gép gyártja, a többit pedig a B. géppel. Nem minden gyártott mobiltelefon jó állapotban van..

Az A által a hibás mobiltelefonok aránya 0,2 és B 0,5. Mi a valószínűsége annak, hogy az említett gyár mobiltelefonja hibás? Mi a valószínűsége annak, hogy tudjuk, hogy a mobiltelefon hibás, az A gépből származik?

megoldás

Itt van egy kísérleted, amely két részből áll; az első részben az események:

V: A gép által készített mobiltelefon.

B: B gép által készített mobiltelefon.

Mivel az A gép a mobiltelefonok 54% -át állítja elő, a többit pedig a B gép gyártja, a B gép 46% -át a mobiltelefonok gyártja. Ezeknek az eseményeknek a valószínűségei:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

A kísérlet második részének eseményei:

D: hibás cella.

E: nem hibás cella.

Amint azt a nyilatkozatban megemlítjük, ezeknek az eseményeknek a valószínűsége az első részben kapott eredménytől függ:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Ezeket az értékeket felhasználva meghatározhatja az események kiegészítésének valószínűségét is:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

és

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Most a D esemény az alábbiak szerint írható:

A feltételes valószínűségre vonatkozó szorzási tételt használva:

Ezzel válaszol az első kérdésre.

Most ki kell számolnunk a P (A | D) értéket, amelyre a Bayes-tétel vonatkozik:

A Bayes-elméletnek köszönhetően elmondható, hogy az a valószínűség, hogy az A-gépet mobiltelefon készítette, tudva, hogy a mobiltelefon hibás, 0,319.

2. gyakorlat

Három doboz fehér és fekete golyót tartalmaz. Mindegyikük összetétele a következő: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Az egyik doboz véletlenszerűen van kiválasztva, és véletlenszerű golyót vonnak ki belőle, ami fehérnek bizonyul. Melyik a legvalószínűbb doboz??

megoldás

U1, U2 és U3-n keresztül a kiválasztott mezőt is képviseljük.

Ezek az események az S partíciót alkotják, és meggyőződik arról, hogy P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, mivel a doboz kiválasztása véletlenszerű.

Ha B = az elvont labda fehér, akkor P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Amit meg akarunk szerezni, annak a valószínűsége, hogy a labdát kivették az Ui dobozból, tudva, hogy a labda fehér volt, vagyis P (Ui | B), és nézze meg, melyik a három érték közül melyik volt a legmagasabb, a doboz valószínűleg a fehér golyó kivonása volt.

A Bayes-tétel alkalmazása az első mezőbe:

És a másik kettő esetében:

P (U2 | B) = 2/6 és P (U3 | B) = 1/6.

Ezután a dobozok közül az első az, amely nagyobb valószínűséggel lett kiválasztva a fehér golyó kitermeléséhez.

referenciák

  1. Kai Lai Chung Elsődleges megvalósíthatósági elmélet sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
  2. Kenneth.H. Rosen, diszkrét matematika és alkalmazásai. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Valószínűség és statisztikai alkalmazások. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diszkrét matematika megoldott problémák. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. A valószínűség elmélete és problémái. McGraw-Hill.