Izometrikus transzformációk összetétele, típusok és példák



az Izometrikus transzformációk ezek egy bizonyos szám pozíciójának vagy orientációjának változásai, amelyek nem változtatják meg sem az űrlapot, sem annak méretét. Ezeket az átalakításokat három típusba sorolják: transzláció, forgatás és reflexió (izometria). Általánosságban elmondható, hogy a geometriai transzformációk lehetővé teszik, hogy egy új alakot hozzunk létre egy másiktól.

A geometriai alakzattá történő átalakítás azt jelenti, hogy valamilyen módon megváltozott; azaz, hogy megváltozott. Az eredeti és a síkbeli hasonlóság értelme szerint a geometriai transzformációk három típusba sorolhatók: izometrikus, izomorf és anamorf..

index

  • 1 Jellemzők
  • 2 típus
    • 2.1 Fordítással
    • 2.2 Forgatással
    • 2.3 Reflexió vagy szimmetria
  • 3 Összetétel
    • 3.1 A fordítás összetétele
    • 3.2 A forgatás összetétele
    • 3.3 Szimmetria összetétele
  • 4 Referenciák

jellemzői

Az izometrikus transzformációk akkor jelentkeznek, amikor a szegmensek nagysága és az eredeti alak és a transzformált szög közötti szögek megmaradnak.

Az ilyen típusú transzformációban sem az alak alakja, sem mérete nem változik (ezek egybevágóak), csak az ábra pozíciójának változása, akár orientációban, akár irányban. Ily módon a kezdeti és a végső számok hasonlóak és geometriai összefüggések lesznek.

Az izometria egyenlőségre utal; azaz, hogy a geometriai ábrák izometrikusak lesznek, ha azonos formájúak és méretűek lesznek.

Az izometrikus transzformációkban az egyetlen dolog, ami megfigyelhető, a sík helyzetének változása, merev mozgás következik be, melynek köszönhetően az ábra egy kezdeti helyzetből véghelyzetbe megy. Ezt az értéket az eredeti homológnak (hasonlónak) nevezik.

Háromféle mozgás létezik, amelyek az izometrikus transzformációt osztályozzák: a fordítás, a forgatás és a visszaverődés vagy a szimmetria.

típus

Fordítással

Azok az izometriák, amelyek lehetővé teszik a sík minden pontjának egy adott irányban és távolságban való mozgását egyenes vonalban.

Ha egy alak transzlációval történik, akkor nem változtatja meg a kezdeti helyzethez viszonyított tájolását, és nem veszíti el belső méreteit, szögei és oldalai mérését. Az ilyen elmozdulás típusát három paraméter határozza meg:

- A cím vízszintes, függőleges vagy ferde.

- Olyan értelem, amely balra, jobbra, felfelé vagy lefelé lehet.

- Távolság vagy nagyság, amely a kezdeti pozíciótól a mozgó pontok végéig terjed.

Az izometrikus transzlációval történő teljesítés érdekében meg kell felelnie az alábbi feltételeknek:

- Az ábrának mindig meg kell tartania minden méretét, mind a lineáris, mind a szögletes.

- Az ábra nem változtatja meg a vízszintes tengelyhez viszonyított helyzetét; azaz a szöge soha nem változik.

- A fordítások mindig egyben kerülnek összegzésre, függetlenül a fordítások számától.

Egy olyan síkban, ahol a középpont egy O pont, koordinátákkal (0,0), a fordítást egy T (a, b) vektor határozza meg, amely a kezdeti pont elmozdulását jelzi. Ez az:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Például, ha a P (8, -2) koordinátapontra fordított T (-4, 7) fordítást alkalmazunk, akkor:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

A következő képen (balra) látható, hogy a C pont a D. ponttal egybeesett. Ez függőleges irányban történt, az irány felfelé, a távolság vagy nagyságú CD pedig 8 méter volt. A jobb oldali képen egy háromszög fordítása figyelhető meg:

Forgatással

Ezek azok az izometriák, amelyek lehetővé teszik, hogy az ábra egy sík összes pontját elforgassa. Mindegyik pont egy olyan ív után forog, amelynek állandó szöge és rögzített pontja (forgási középpontja) van meghatározva.

Ez azt jelenti, hogy az összes forgatást a forgás középpontja és a forgási szög határozza meg. Ha egy alakot forgatással alakítanak át, megtartja a szögek és oldalak mérését.

A forgás egy bizonyos irányban történik, pozitív, ha a forgás az óramutató járásával ellentétes irányba fordul (ellentétben azzal, ahogy az óra kezei forognak), és negatív, ha a forgás az óramutató járásával megegyező irányban történik.

Ha egy (x, y) pontot elforgatunk az eredethez képest - azaz a forgási középpontja (0,0) - 90 ° -os szögben.vagy 360-igvagy A pontok koordinátái:

Abban az esetben, ha a forgatásnak nincs középpontja az eredetnél, a koordinátarendszer eredetét át kell vinni az új adott eredetre, annak érdekében, hogy elforgathassa az ábrát, amelynek középpontja az eredete..

Például, ha a P (-5.2) pontot 90-es forgatással kapjuk megvagy, az eredet körül és pozitív értelemben új koordinátái lesznek (-2,5).

A reflexió vagy a szimmetria

Ezek azok a transzformációk, amelyek megfordítják a sík pontjait és alakjait. Ez a beruházás egy pontra vonatkozhat, vagy egyenes vonalra is vonatkozhat.

Más szóval, az ilyen típusú transzformációban az eredeti ábra minden pontja egy másik ponthoz (képhez) kapcsolódik a homológ alakhoz, oly módon, hogy a pont és képe azonos távolságban legyen a szimmetria tengelyének nevezett vonaltól..

Így az ábra bal oldala a jobb oldali rész tükröződik, anélkül, hogy megváltoztatná alakját vagy méretét. A szimmetria az egyik alakot egy másikvá alakítja, bár az ellenkező irányba, amint az a következő képen látható:

A szimmetria több szempontból is jelen van, mint egyes növényekben (napraforgók), állatokban (páva) és természeti jelenségekben (hópelyhek). Az emberi lény az arcán tükrözi, ami a szépség tényezője. A reflexió vagy a szimmetria kétféle lehet:

Központi szimmetria

Ez a transzformáció egy olyan ponthoz kapcsolódik, amelyben az ábra megváltoztathatja a tájolását. Az eredeti alak és a kép minden pontja ugyanolyan távolságban van egy O ponttól, amelyet a szimmetria központnak neveznek. A szimmetria központi, ha:

- Mind a pont, mind a képe és a középpontja ugyanabba a sorba tartozik.

- 180 fordulattalvagy O-központban az eredetihez hasonló értéket kapunk.

- A kezdeti ábra ütemei párhuzamosak a kialakított ábra ütemével.

- Az ábra értelme nem változik, mindig az óramutató járásával megegyező irányban lesz.

Ez a transzformáció a szimmetria-tengelyre vonatkozik, ahol a kezdeti ábra minden pontja a kép egy másik pontjához kapcsolódik, és ezek a távolság a szimmetria tengelyétől azonos távolságban vannak. A szimmetria axiális, ha:

- A szegmens, amely egy ponttal csatlakozik a képéhez, merőleges a szimmetria tengelyére.

- Az ábrák a fordulattal vagy az óramutató járásával megegyező irányban változtatnak irányt.

- Amikor az ábrát egy középvonallal (szimmetriatengellyel) osztjuk el, az egyik felét teljesen megegyezik egy másik felével..

összetétel

Az izometrikus transzformációk összetétele az izometrikus transzformációk egymás utáni alkalmazására vonatkozik.

A fordítás összetétele

A két fordítás összetétele egy másik fordítást eredményez. Ha a síkban történik, a vízszintes tengelyen (x) csak a tengely koordinátái változnak, míg a függőleges tengely (y) koordinátái változatlanok maradnak, és fordítva.

A forgatás összetétele

Két azonos fordulattal rendelkező fordulat összetétele egy másik fordulatot eredményez, amelynek ugyanaz a központja és amplitúdója a két fordulat amplitúdójának összege lesz..

Ha a központnak a középpontja eltérő, akkor a hasonló pontok két szegmensének szétválasztása a kör középpontja lesz.

Szimmetria összetétele

Ebben az esetben a kompozíció az alkalmazás módjától függ:

- Ha ugyanazt a szimmetriát alkalmazza kétszer, az eredmény identitás lesz.

- Ha két párhuzamos tengely tekintetében két szimmetriát alkalmaznak, az eredmény fordítást jelent, és elmozdulása kétszerese a tengelyek távolságának:

- Ha két szimmetriát alkalmaznak az O (középső) pontnál levágott két tengely vonatkozásában, akkor az O középponttal elfordul, és a szöge kétszerese lesz a tengelyek által kialakított szögnek:

referenciák

  1. V Burgués, J. F. (1988). Anyagok a geometria kialakításához. Madrid: Szintézis.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Műszaki rajz II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). A geometria alapjai Mexikó: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometria A transzformációs megközelítés. USA: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Indukció és formalizálás a merev transzformációk tanításában a CABRI környezetben.
  6. , P. J. (1996). A sík izometrikus csoportja. Madrid: Szintézis.
  7. Suárez, A. C. (2010). Transzformációk a síkon. Gurabo, Puerto Rico: AMCT .