Átalakított Laplace definíció, történelem, mi az, a tulajdonságok



az átalakult a Laplace-ből az utóbbi években nagy jelentőséget tulajdonított a mérnöki, matematikai, fizikai, más tudományos területeken végzett tanulmányok, valamint az elméleti érdeklődés mellett, és egyszerű módszert kínál a tudomány és a műszaki problémák megoldására..

Eredetileg a Laplace-transzformációt Pierre-Simon Laplace mutatta be a valószínűségelméleti tanulmányában, és kezdetben csak elméleti érdek matematikai tárgyaként kezelték.

A jelenlegi alkalmazások akkor merülnek fel, amikor a különböző matematikusok megpróbáltak hivatalos indokolást adni a Heaviside által az elektromágneses elmélet egyenleteinek tanulmányozása során alkalmazott "működési szabályoknak".

index

  • 1 Meghatározás
    • 1.1 Példák
    • 1.2 Tétel (Megfelelő feltételek a létezéshez)
    • 1.3 Néhány alapfunkció Laplace-átalakítása
  • 2 Történelem
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Tulajdonságok
    • 3.1 Linearitás
    • 3.2 Első fordítási tétel
    • 3.3 Második fordítási tétel
    • 3.4 A skála változása
    • 3.5 A derékszármazékok Laplace-jének átalakítása
    • 3.6 Az integrálok laplace-transzformációja
    • 3.7 Szorzás tn-vel
    • 3.8 Osztás t szerint
    • 3.9 Időszakos funkciók
    • 3.10 Az F (k) viselkedése, amikor s végtelenre hajlamos
  • 4 Fordított átalakítások
    • 4.1 Gyakorlat
  • 5 A Laplace-átalakítás alkalmazásai
    • 5.1. Differenciálegyenletek
    • 5.2 A differenciálegyenletek rendszerei
    • 5.3 Mechanika és elektromos áramkörök
  • 6 Referenciák

meghatározás

Legyen f egy függvény, amely t ≥ 0-nak van definiálva. A Laplace-transzformáció a következőképpen van meghatározva:

Azt mondják, hogy a Laplace Transform létezik, ha az előző integrált konvergens, különben azt mondják, hogy a Laplace-transzformáció nem létezik.

Általában, hogy jelezze azt a függvényt, amelyet átalakítani szeretne, kisbetűket használnak, és a nagybetűk megfelelnek annak átalakulásának. Ily módon:

Példák

Figyeljük meg az f (t) = 1 állandó függvényt.

Ha az integrált konvergens, akkor mindig azt jelenti, hogy s> 0. Egyébként s < 0, la integral diverge.

Legyen g (t) = t. A Laplace-transzformációt a

A részek integrálásával és tudatában, hogy Ön-st 0-ra hajlamos, amikor a t végtelenre hajlamos, és s> 0, az előző példával együtt:

A transzformáció létezik vagy nem létezik, például az f (t) = 1 / t függvény esetében a Laplace-transzformációt meghatározó integrál nem konvergál, ezért átalakulása nem létezik.

Elegendő feltétel annak biztosítására, hogy az F függvény Laplace transzformációja létezik, az f folytonos a t ≥ 0 részekben, és exponenciális sorrendben van.

Azt mondják, hogy egy függvény folytonos a t ≥ 0 részekben, amikor bármelyik [a, b] intervallumban a> 0-val van véges számú pont \ tk, ahol f folytonossággal rendelkezik és minden alintervallumban folyamatos [tK-1,tk].

Másrészről azt mondják, hogy egy függvény c exponenciális sorrendben van, ha az M> 0, c és T> 0 valós konstansok olyanok, hogy:

Példaként, hogy f (t) = t2 exponenciális sorrendben van, mivel | t2| < e3t minden t> 0-ra.

Formálisan a következő tétel van

Tétel (elegendő feltétel a létezéshez)

Ha f a folyamatos függvény egy részre t> 0 és az exponenciális sorrendben c, akkor a Laplace transzformáció az s> c.

Fontos kiemelni, hogy ez az elégségesség feltétele, vagyis lehet, hogy van olyan funkció, amely nem felel meg ezeknek a feltételeknek, és még akkor is, ha Laplace-átalakítása létezik.

Erre példa az f (t) = t függvény-1/2 ez nem folytonos a t ≥ 0 részekben, de a Laplace-transzformáció létezik.

Néhány alapfunkció Laplace-átalakítása

Az alábbi táblázat a leggyakoribb funkciók Laplace-transzformációit mutatja.

történelem

A Laplace-transzformáció nevét Pierre-Simon Laplace-nek, matematikusnak és francia elméleti csillagásznak köszönheti, aki 1749-ben született, és 1827-ben halt meg..

1744-ben Leonard Euler tanulmányait az integrálokkal szentelte az űrlaphoz

mint a hagyományos differenciálegyenletek megoldásait, de gyorsan elhagyta ezt a vizsgálatot. Később Joseph Louis Lagrange, aki nagyszerűen megcsodálta Eulert, szintén vizsgálta az ilyen típusú integrálokat, és a valószínűségelmélethez köti őket.

1782, Laplace

1782-ben a Laplace ezeket az integrálokat differenciálegyenletek megoldásaként kezdte tanulmányozni, és a történészek szerint 1785-ben úgy döntött, hogy újratervezi a problémát, ami később a Laplace-eket átalakította, ahogyan ma megértették.

Miután bevezették a valószínűségi elméleti területbe, nem volt érdekes az idő tudósai számára, és csak az elméleti érdek matematikai tárgyaként tekintették.

Oliver Heaviside

A tizenkilencedik század közepén, amikor az angol mérnök, Oliver Heaviside felfedezte, hogy a differenciált operátorok algebrai változóknak tekinthetők, így modern alkalmazásuk a Laplace-transzformációkhoz.

Oliver Heaviside angol fizikus, villamosmérnök és matematikus volt, aki 1850-ben született Londonban és 1925-ben halt meg. A rezgéselméletre alkalmazott differenciálegyenletek problémáinak megoldása és Laplace-tanulmányok felhasználásával megpróbálta kialakítani a a Laplace-transzformációk modern alkalmazásai.

A Heaviside által bemutatott eredmények gyorsan elterjedtek az egész tudományos közösségben, de mivel a munkája nem volt szigorú, a hagyományos matematikusok gyorsan kritizálják.

Azonban a Heaviside munkájának a fizikai egyenletek megoldásában való hasznossága a fizikusok és a mérnökök körében népszerűvé vált.

E hátrányok ellenére és néhány évtizedes sikertelen próbálkozás után a 20. század elején a Heaviside által kiadott operatív szabályok szigorú indoklása biztosított..

Ezek a kísérletek a különböző matematikusok, többek között Bromwich, Carson, van der Pol, erőfeszítéseinek köszönhetőek..

tulajdonságok

A Laplace-transzformáció tulajdonságai közül a következő:

linearitás

Legyen c1 és c2 konstansok és f (t) és g (t) függvények, amelyek Laplace-transzformációi F (s) és G (ek), majd:

Ennek a tulajdonságnak köszönhetően a Laplace-transzformáció lineáris operátor.

példa

Első fordítási tétel

Ha előfordul, hogy:

És az "a" bármilyen valós szám, majd:

példa

A cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) Laplace-transzformációjaként:

Második fordítási tétel

ha

majd

példa

Ha f (t) = t ^ 3, akkor F (s) = 6 / s ^ 4. És ezért az átalakulás

G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

A skála változása

ha

És az "a" egy nem nulla valódi

példa

Mivel az f (t) = sin (t) transzformációja F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1),

a derékszármazékok Laplace-jének átalakítása

Ha f, f ', f ", ..., f(N) folyamatos t ≥ 0 esetén, és exponenciális sorrendben és f(N)(t) folytonos a t ≥ 0 részeknél

Az integrálok Laplace-transzformációja

ha

majd

Szorzás t-veln

Ha kell

majd

Osztás t szerint

Ha kell

majd

Időszakos funkciók

Legyen f egy periodikus függvény T> 0 periódussal, azaz f (t + T) = f (t)

Az F (k) viselkedése, amikor s végtelenre hajlamos

Ha f folyamatos részekben és exponenciális sorrendben és

majd

Fordított átalakítások

Amikor a Laplace-transzformációt f (t) függvényre alkalmazzuk, az F-t kapjuk, amely az átalakítást jelenti. Ugyanígy azt is mondhatjuk, hogy az f (t) az F (s) inverz Laplace-transzformációja, és úgy van írva, mint

Tudjuk, hogy az f (t) = 1 és g (t) = t Laplace transzformációi F (s) = 1 / s és G (s) = 1 / s2 ennek megfelelően kell

Néhány közös fordított Laplace-transzformáció a következő

Ezen túlmenően az inverz Laplace-transzformáció lineáris, azaz teljesül

gyakorlat

talál

E feladat megoldásához meg kell egyeznie az F (s) funkcióval az előző táblázat egyikével. Ebben az esetben, ha n + 1 = 5-et veszünk, és az inverz transzformáció linearitási tulajdonságát használjuk, akkor 4-gyel szaporodunk és osztjuk meg! szerzés

A második inverz transzformációhoz részleges frakciókat alkalmazunk az F (s) függvény átírására, majd a linearitás tulajdonságára,

Amint ezekből a példákból látható, az, hogy az értékelendő F (függvény) függvény nem ért egyet pontosan a táblázatban megadott bármely funkcióval. Ezekben az esetekben, ahogyan azt megfigyeltük, elegendő a függvény átírása mindaddig, amíg el nem éri a megfelelő formát.

A Laplace-transzformáció alkalmazása

Differenciálegyenletek

A Laplace-transzformációk fő alkalmazása a differenciálegyenletek megoldása.

Egy származék transzformációjának tulajdonságával egyértelmű, hogy

És az n-1 származékok közül t = 0 értéken értékeltük.

Ez a tulajdonság teszi az átalakítást nagyon hasznosnak a kezdeti értékproblémák megoldására, ahol az állandó együtthatókkal rendelkező differenciálegyenletek szerepelnek.

Az alábbi példák bemutatják, hogyan kell használni a Laplace-transzformációt a differenciálegyenletek megoldására.

1. példa

Tekintettel a következő kezdeti érték problémára

A Laplace-átalakítás segítségével keresse meg a megoldást.

A Laplace transzformációt a differenciálegyenlet minden egyes tagjára alkalmazzuk

A származékos termék átalakításának tulajdonsága

Az összes kifejezést és elszámolást fejlesztve És mi maradunk

Részleges frakciók felhasználásával az egyenlet jobb oldalát átírjuk

Végül célunk egy y (t) függvény megtalálása, amely kielégíti a differenciálegyenletet. Az inverz Laplace-transzformáció segítségével az eredményt kapjuk

2. példa

megfejt

Az előző esethez hasonlóan az egyenlet mindkét oldalán alkalmazzuk a transzformációt és a kifejezést külön-külön.

Ily módon így van

A megadott kezdeti értékekkel való helyettesítés és az Y (ek) törlése

Egyszerű frakciók használatával az egyenletet a következőképpen írhatjuk át

A Laplace inverz transzformációjának alkalmazása így eredményez

Ezekben a példákban rossz következtetésre juthatunk, hogy ez a módszer nem sokkal jobb, mint a hagyományos módszerek a differenciálegyenletek megoldására.

A Laplace-transzformáció által kínált előnyök az, hogy nem szükséges a paraméterváltozat használata, vagy a nem határozott koefficiens-módszer különböző esetei miatt..

A kezdeti értékek ezen módszerrel történő megoldása mellett a kezdeti feltételeket a kezdetektől fogva használjuk, így nem szükséges más számításokat elvégezni az adott megoldás megtalálásához..

Differenciálegyenletek rendszerek

A Laplace-transzformáció is használható a párhuzamos szokásos differenciálegyenletek megoldásának megtalálására, amint azt a következő példa mutatja.

példa

megfejt

A kezdeti feltételekkel x (0) = 8e és (0) = 3.

Ha kell

majd

Az eredmények megoldása bennünk

És amikor a Laplace inverz transzformációt alkalmazzuk

Mechanika és elektromos áramkörök

A Laplace-transzformáció nagy jelentőséggel bír a fizikában, főként a mechanikai és elektromos áramkörökre.

Egy egyszerű elektromos áramkör az alábbi elemekből áll

Kapcsoló, akkumulátor vagy forrás, induktor, ellenállás és kondenzátor. A kapcsoló zárásakor villamos áram keletkezik, amelyet i (t) jelöl. A kondenzátor töltöttségét q (t) jelöli..

Kirchhoff második törvénye szerint az E forrás által a zárt áramkörre előállított feszültségnek meg kell egyeznie az egyes feszültségesések összegével..

Az i (t) elektromos áram a kondenzátor q (t) töltésével van összefüggésben i = dq / dt. Másrészt a feszültségesés minden egyes elemben a következőképpen van meghatározva:

Az ellenállás feszültségesése iR = R (dq / dt)

A feszültségesés egy induktorban L (di / dt) = L (d2q / dt2)

A kondenzátor feszültségesése q / C

Ezekkel az adatokkal és a második Kirchhoff-törvény alkalmazásával a zárt egyszerű áramkörre egy második sorrendű differenciálegyenletet kapunk, amely leírja a rendszert és lehetővé teszi számunkra a q (t) értékének meghatározását..

példa

Az E elemhez egy induktor, kondenzátor és ellenállás van csatlakoztatva, amint az az ábrán látható. A fojtótekercs 2 tyúkból, a 0,02 farads kondenzátorból és a 16 μm ellenállásból áll. A t = 0 időpontban az áramkör zárva van. Keresse meg a terhelést és az áramot bármikor t> 0, ha E = 300 volt.

Van, hogy az áramkört leíró differenciálegyenlet a következő

Ahol a kezdeti feltételek q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

A Laplace-átalakítás alkalmazásával ezt megkapjuk

És a Q (t) törlése

Ezután az inverz Laplace-átalakítást alkalmazzuk

referenciák

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace-transzformáció elektronikai mérnökök számára. Limusa.
  2. Ruiz, L. M. és Hernandez, M. P. (2006). Differenciálegyenletek és Laplace-transzformáció alkalmazásokkal. Szerkesztői UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Differenciálegyenletek az alkalmazásokkal és a történelmi jegyzetekkel. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplace Transforms. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G. és Cullen, M. R. (2008). Differenciálegyenletek az értékek problémáival a határon. Cengage Learning Editores, S.A..