13 Készletek és példák osztályai

az fajták Ezek sorolhatók egyenlő, véges és végtelen, subcojuntos, üres, diszjunkt vagy diszjunktív, ezzel egyenértékű egységet, egymásra helyezett vagy egymást átfedő, kongruens és inkongruens egyebek. 

A készlet objektumok gyűjteménye, de új kifejezések és szimbólumok szükségesek ahhoz, hogy a készletekről érthetően beszélhessenek.

A hétköznapi nyelvben azt a világot értjük, amelyben a dolgokat osztályozzuk. A spanyolul sok szó van ilyen gyűjteményekre. Például: "egy madárállomány", "egy állatállomány", "a méhek rajza" és "egy hangya kolónia"..

A matematikában valami hasonló történik, ha a számokat, geometriai ábrákat stb. Osztályozzák. Ezeknek a készleteknek a tárgyait a készlet elemeinek nevezik.

A készlet leírása

Egy készlet leírható az összes elem felsorolásával. Például,

S = 1, 3, 5, 7, 9.

"S az a készlet, amelynek elemei 1, 3, 5, 7 és 9." A készlet öt elemét vesszők választják el, és a zárójelek között szerepelnek.

Egy halmaz is elhatárolható az elemei zárójelben történő meghatározásával. Így a fenti S készlet a következőképpen is írható:

S = páratlan egész számok kevesebb mint 10.

A készletnek pontosan meg kell határoznia. Ez azt jelenti, hogy a készlet elemeinek leírása világos és egyértelmű. Például a magas emberek nem egy készlet, mert az emberek inkább nem értenek egyet a „magas” eszközökkel. Egy jól definiált készlet egy példája

 T = ábécé betűi.

A készlet típusai

1- Egyenlő készlet

Két készlet ugyanaz, ha pontosan ugyanazokkal az elemekkel rendelkeznek.

Például:

• Ha A = az ábécé énekei és B = a, e, i, o, u, azt mondják, hogy A = B.
• Másrészről a 1, 3, 5 és 1, 2, 3 készletek nem azonosak, mert különböző elemekkel rendelkeznek. Ez 1, 3, 5 ≠ 1, 2, 3.
• Az elemek sorrendje a zárójelben nem szerepel egyáltalán. Például: 1, 3, 5, 7, 9 = 3, 9, 7, 5, 1 = 5, 9, 1, 3, 7.
• Ha egy elem többször jelenik meg a listában, csak egyszer számít. Például: a, a, b = a, b.

A a, a, b készletnek csak a két a és b eleme van. Az a második említése szükségtelen ismétlés, és figyelmen kívül hagyható. Általában rossz jelölésnek számít, ha egy elemet többször is felsorol.

2 - Véges és végtelen halmazok

A véges halmazok azok, amelyekben a készlet összes elemét meg lehet számolni vagy felsorolni. Íme két példa:

• 2000 és 2 005 közötti teljes szám = 2 001, 2 002, 2 003, 2 004
• 2000 és 3000 közötti teljes szám = 2,001, 2,002, 2,003, ..., 2999

A második példa „...” három pontja a többi 995 számot mutatja a készletben. Valamennyi elemet fel lehetett sorolni, de helyet takaríthatunk meg. Ez a jelölés csak akkor használható, ha teljesen világos, hogy mit jelent, mint ebben a helyzetben.

Egy halmaz is végtelen lehet - az egyetlen dolog, ami számít, hogy jól definiált. Íme két példa a végtelen halmazokra:

• Egyenlő és egész számok kettőnél nagyobbak vagy egyenlőek = 2, 4, 6, 8, 10, ...
• Teljes szám nagyobb, mint 2000 = 2,001, 2,002, 2,003, 2,004, ...

Mindkét készlet végtelen, mivel nem számít, hogy hány elemet próbál felsorolni, mindig vannak olyan elemek, amelyeket nem lehet felsorolni, függetlenül attól, hogy mennyi ideig próbálkozunk. Ezúttal a "..." pontok kissé eltérő jelentéssel bírnak, mert végtelenül sok elemet jelentenek, amelyek nem szerepelnek a listában.

3- Beállítja az alcsoportokat

Az alkészlet egy készlet része.

• Példa: A baglyok egy különleges madárfaj, így minden bagoly is madár. A halmazok nyelvén azt mondják, hogy a baglyok halmaza a madarak halmazának egy részhalmaza.

Az S halmaz egy másik készlet T részhalmaza, ha az S egyes elemei T. elemei. Ez a következő:

• S ⊂ T ("S" a T részhalmaza)

Az új ⊂ szimbólum azt jelenti, hogy „ez egy részhalmaz”. Tehát bagoly ⊂ madarak, mert minden bagoly madár.

• Ha A = 2, 4, 6 és B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, akkor A ⊂ B,

Mivel az A minden elem B-elem.

A ⊄ szimbólum azt jelenti, hogy „nem egy részhalmaz”.

Ez azt jelenti, hogy az S legalább egy eleme nem T. elem. Például:

• Madarak ⊄ repülő lények

Mert egy strucc madár, de nem repül.

• Ha A = 0, 1, 2, 3, 4 és B = 2, 3, 4, 5, 6, akkor A ⊄

Mivel 0 ∈ A, de 0 ∉ B, a "0 az A" csoportba tartozik, de a "0 nem tartozik a B csoporthoz".

4- Üres készlet

A Ø szimbólum az üres készletet jelenti, amely egy olyan készlet, amely egyáltalán nem rendelkezik elemekkel. A teljes univerzumban semmi nem Ø:

• | Ø | = 0 és X ∉ Ø, nem számít, hogy milyen lehet X.

Csak egy üres készlet van, mert két üres készletnek pontosan ugyanazok az elemei vannak, így meg kell egyezniük egymással.

5- Diszjunktív vagy diszjunktív készletek

Két készletet diszjunktnak neveznek, ha nincsenek közös elemeik. Például:

• Az S = 2, 4, 6, 8 és T = 1, 3, 5, 7 készlet diszjunkt.

6- ekvivalens készlet

Azt mondják, hogy az A és B egyenértékűek, ha azonos számú elemet alkotnak, vagyis az A halmaz számának meg kell egyeznie a B, n (A) = n (B) halmaz számával. Az egyenértékű készletet jelző szimbólum a '↔'.

• Például:
  A = 1, 2, 3, ezért n (A) = 3
  B = p, q, r, ezért n (B) = 3
  Ezért, A ↔ B

7- Egységes halmazok

Ez egy olyan készlet, amely pontosan egy elemet tartalmaz. Más szóval, csak egy elem áll az egészet.

Például:

• S = a
• Legyen B = egy páros szám

Ezért B egy egység, mert csak egy elsőszám van, azaz 2.

8- Univerzális vagy referencia készlet

Egy univerzális készlet az összes tárgy összegyűjtése egy adott kontextusban vagy elméletben. A keretben lévő összes többi készlet az univerzális készlet részhalmazait jelenti, amelyet a nagybetűvel és a kurzív U-vel hívnak.

Az U pontos meghatározása a vizsgált kontextustól vagy elmélettől függ. Például:

• Meg tudná határozni U-t, mint a Föld bolygón élő összes élő tárgyat. Ebben az esetben az összes macska halmaza az U részhalmaza, az összes hal halmaza az U másik részhalmaza..
• Ha U definiáljuk a készlet minden állatok a Földön, akkor a készlet minden macska egy részhalmaza U, a készlet minden hal egy további alcsoportjában U, de a készlet minden fák nem egy U részhalmaza.

9 - Átfedő vagy átfedő készletek

Két, legalább egy közös elemet tartalmazó készletet átfedő készletnek nevezünk.

• Példa: Legyen X = 1, 2, 3 és Y = 3, 4, 5

Az X és Y két csoportnak közös eleme van, a 3-as szám.

10 - Kongresszív készlet.

Azok a készletek, amelyekben az A elem minden elemének azonos távolsága van a B. elem elemeivel, Példa:

• B 2, 3, 4, 5, 6 és A 1, 2, 3, 4, 5

A 2 és 1, 3 és 2, 4 és 3, 5 és 4, 6 és 5 közötti távolság egy (1) egység, így az A és B egybevágó készlet..

11 - Nem összeegyeztethető halmazok

Ezek azok, amelyekben az A elem egyes elemei közötti távolságot nem lehet a B képpel létrehozni. Példa:

• B 2, 8, 20, 100, 500 és A 1, 2, 3, 4, 5

A 2 és 1, 8 és 2, 20 és 3, 100 és 4, 500 és 5 közötti távolság különbözik, így az A és B nem egyösszeegyeztethető halmazok.

12- Homogén halmazok

A készletet alkotó összes elem ugyanabba a kategóriába, műfajba vagy osztályba tartozik. Ezek azonos típusúak. például:

• B 2, 8, 20, 100, 500

A B összes eleme szám, így a készlet homogénnek tekinthető.

13- Heterogén halmazok

A készlethez tartozó elemek különböző kategóriákba tartoznak. például:

• A z, autó, π, épületek, alma

Nincs olyan kategória, amelyhez a készlet összes eleme tartozik, ezért heterogén halmaz.

referenciák

1. Brown, P. és munkatársai (2011). Készletek és Venn diagramok. Melbourne, Melbourne-i Egyetem.
2. Véges készlet. A lap eredeti címe: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L és Hoon, T (2009). Matematikai betekintések másodlagos 5 normál (tudományos). Szingapúr, Pearson Education Dél-Ázsia Pte Ld.
4. A lap eredeti címe: searchsecurity.techtarget.com.
5. Készletek típusai A lap eredeti címe: math-only-math.com.