Axiomatikus módszerek, lépések, példák

az axiomatikus módszer vagy az Axiomatics néven ismert formális eljárás, melynek segítségével az axiómáknak nevezett kijelentéseket vagy javaslatokat formulázzák, egymással összekapcsolják egy levonhatósági viszony alapján, és amelyek egy adott rendszer hipotézisének vagy feltételeinek alapját képezik..

Ezt az általános definíciót a történelem során ezt a módszertant érintő fejlődésen belül kell kialakítani. Először is van egy ősi módszer vagy tartalom, született az ókori Görögországban az Euklideszi és később Arisztotelész által kifejlesztett.

Másodszor, már a tizenkilencedik században egy olyan geometria megjelenése, amelynek axiómái eltérnek az Euclidéitól. Végül pedig a formális vagy modern axiomatikus módszer, amelynek maximális exponense David Hilbert volt.

Az időbeli fejlődésen túlmenően ez az eljárás a geometriában és a logikában alkalmazott deduktív módszer alapjául szolgál. A fizika, a kémia és a biológia területén is használták.

És még a jogi tudomány, a szociológia és a politikai gazdaság számára is alkalmazzák. Jelenleg azonban a legfontosabb alkalmazási területe a matematika és a szimbolikus logika, valamint a fizika egyes ágai, mint például a termodinamika, a mechanika, más tudományágak között..

index

• 1 Jellemzők 
  • 1.1 Régi axiomatikus módszer vagy tartalom 
  • 1.2 Nem-euklideszi axiomatikus módszer
  • 1.3 Modern vagy formális axiomatikus módszer
• 2 lépés 
• 3 Példák
• 4 Referenciák

jellemzői

Bár ennek a módszernek az alapvető jellemzője az axiómák megfogalmazása, ezeket nem mindig azonos módon vizsgálták.

Vannak olyanok, amelyek tetszőleges módon definiálhatók és építhetők. És mások, egy olyan modell szerint, amelyben az intuitívan garantált igazságot figyelembe vesszük.

Annak érdekében, hogy kifejezetten megértsük, mi ez a különbség és annak következményei, felül kell vizsgálni a módszer fejlődését.

Régi axiomatikus módszer vagy tartalom 

Ez az ókori Görögországban, a Kr. E. Alkalmazási területe a geometria. Ennek a szakasznak az alapvető munkája az Euklideszi Elemek, bár úgy vélik, hogy előtte Pythagoras már megszületett az axiomatikus módszerrel..

Így a görögök bizonyos tényeket axiómaként vesznek igénybe, anélkül, hogy logikai bizonyítékot igényelnének, vagyis demonstrációs szükséglet nélkül, mivel számukra magától értetődő igazság.

A maga részéről az Euclides öt geometriai axiómát mutat be:

1 -Egy két pontot tartalmaz egy sor, amely tartalmazza vagy összekapcsolja őket.

A 2-Bármilyen szegmens mindkét oldalon korlátlan sorban folytatható.

3-Rajzolhat egy kört, amelynek középpontja bármely ponton és bármely sugárban van.

A 4-jobb szögek ugyanazok.

5-Bármely egyenes vonal és minden olyan pont, amely nem benne van, egyenes vonal van, amely ezzel párhuzamosan van. Ezt az axiómát később ismerjük a párhuzamok axiómiájaként, és azt is felsoroltuk, hogy: egy vonalon kívüli ponttal egyetlen párhuzamos vonalat rajzolhatunk.

Azonban mind az Euklideszi, mind a későbbi matematikusok egyetértenek abban, hogy az ötödik axióma intuitívan nem olyan világos, mint a másik 4. Még a reneszánsz ideje alatt is megpróbálja levonni a másik ötödikét, de ez nem lehetséges.

Ez azt eredményezte, hogy már a tizenkilencedik században azok, akik fenntartották az ötöt, az euklideszi geometria támogatói voltak, és azok, akik megtagadták az ötödiket, azok voltak, akik létrehozták a nem-euklideszi geometriákat.

Nem euklideszi axiomatikus módszer

Pontosan Nikolai Ivanovich Lobachevski, Bolyai János és Johann Karl Friedrich Gauss látja azt a lehetőséget, hogy ellentmondás nélkül építsenek olyan geometriát, amely az Euklidesétől eltérő axiómák rendszeréből származik. Ez elpusztítja az abszolút vagy a priori igazságban az axiómák és azokból származó elméletek hitét.

Ezért az axiómák egy adott elmélet kiindulópontjaként kezdenek felfogni. A választásuk és érvényességük problémája egy vagy más módon is kezdődik az axiomatikus elméleten kívüli tényekhez.

Ily módon geometriai, algebrai és aritmetikai elméletek jelennek meg az axiomatikus módszer segítségével.

Ez a szakasz az aritmetikai axiomatikus rendszerek, például Giuseppe Peano 1891-es létrehozásával jött létre. David Hubert geometriája 1899-ben; Alfred North Whitehead és Bertrand Russell, Angliában 1910-ben tett állításai és predikciós számításai; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo készleteinek axiomatikus elmélete 1908-ban.

Modern vagy formális axiomatikus módszer

David Hubert kezdeményezi a formális axiomatikus módszer fogalmát, és a csúcspontjához vezet, David Hilbert.

Pontosan Hilbert formalizálja a tudományos nyelvet, figyelembe véve a kijelentéseket mint olyan jeleket, amelyek önmagukban nem jelentenek semmilyen jelentést. Csak bizonyos értelmezésben szereznek jelentést.

In "A geometria alapjai"Elmagyarázza a módszertan első példáját. Innen a geometria tiszta logikai következmények tudományává válik, amelyet egy hipotézisek vagy axiómák rendszeréből nyerünk ki, amelyek jobban artikulálódnak, mint az euklideszi rendszer.

Ez azért van, mert a régi rendszerben az axiomatikus elmélet az axiómák bizonyítékain alapul. Míg a formális elmélet alapja az axiómák nem ellentmondásainak bemutatása.

lépések

A tudományos elméletekben axiomatikus strukturálást végző eljárás felismeri:

a - bizonyos számú axiómák megválasztása, vagyis egy bizonyos elmélet számos javaslata, amelyeket nem kell bemutatni.

b-a fogalmak, amelyek e javaslatok részét képezik, az adott elmélet keretein belül nem kerülnek meghatározásra.

c-az adott elmélet definíciójának és levonásának szabályai rögzítve vannak, és lehetővé teszik az új elméletek bevezetését az elméleten belül, és logikusan levonhatnak néhány javaslatot másból.

d - az elmélet egyéb javaslatait, azaz a tételt a c alapján számítjuk ki.

Példák

Ezt a módszert a két legismertebb Euclid-tétel: a láb-tétel és a magasság-tétel bemutatásával lehet ellenőrizni..

Mindkettő a görög geometria megfigyeléséből fakad, hogy ha a magasságot a jobb háromszögben lévő hipotenusszal kapcsolatban ábrázoljuk, két háromszög jelenik meg több mint az eredeti. Ezek a háromszögek hasonlítanak egymáshoz, és ugyanakkor hasonlítanak az eredet háromszögéhez. Ez feltételezi, hogy a megfelelő homológ oldaluk arányos.

Látható, hogy a háromszögekben a kongruens szögek az AAA hasonlósági kritériuma szerint ellenőrzik az érintett három háromszög közötti hasonlóságot. Ez a kritérium azt állítja, hogy ha két háromszögnek minden egyenlő szöge van, akkor hasonlóak.

Ha a háromszögek hasonlónak bizonyulnak, az első tételben megadott arányok megállapíthatók. Azt állítja, hogy egy jobb háromszögben az egyes katéták mérése geometriai arányos átlag a hypotenuse és a katetus vetülete között..

A második tétel a magasság. Meghatározza, hogy a hipotenézis szerint húzott bármely háromszög, amely a magasságot húzza, geometriai arányos a szegmensek között, amelyeket az említett geometriai átlag határoz meg a hypotenuse-nél.

Természetesen mindkét tétel számos alkalmazással rendelkezik szerte a világon, nemcsak az oktatás, hanem a mérnöki, fizikai, kémiai és csillagászati ​​területen is..

referenciák

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalizmus és intuíció: David Hilbert és a formális axiomatikus módszer (1895-1905). Philosophy Magazine, 39. kötet, Núm. 2, 121. -146. A revistas.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatikus gondolat. A W.Ewald-ban, a szerkesztőben, Kant-tól Hilbertig: a matematika alapja. II. Kötet, 1105-1114. Oldal. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Mi az axiomatikus módszer? Synthese, 2011. november, 189. kötet, 669-85. A link.springer.com címen.
4. López Hernández, José. (2005). Bevezetés a kortárs jog filozófiájába. (Pp.48-49). Készült a books.google.com.ar webhelyről.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Az Axiomatikus módszer, Ricardo Nirenberg, 1996 ősz, Albany Egyetem, Project Renaissance olvasásával. Albany.edu-tól.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert a matematika formális és informális oldala között. Kézirat vol. 38 nem. 2, Campinas 2015. július / augusztus.