A diszkrét valószínűségi jellemzők és gyakorlatok eloszlása

az Diszkrét valószínűségi eloszlások egy olyan függvény, amely az X (S) = x1, x2, ..., xi, ... minden egyes eleméhez rendel, ahol X egy adott diszkrét véletlen változó, és S a minta tér, a valószínűség, hogy az esemény bekövetkezik. Az X (S) f (xi) = P (X = xi) -ként definiált f függvényét néha valószínűségi tömegfüggvénynek nevezik..

Ez a valószínűség-tömeg általában táblázatként jelenik meg. Mivel X egy diszkrét véletlen változó, az X (S) véges számú eseményt vagy egy számolható végtelenséget tartalmaz. A leggyakoribb diszkrét valószínűségi eloszlások közül az egyenletes eloszlás, a binomiális eloszlás és a Poisson-eloszlás van.

index

• 1 Jellemzők
• 2 típus
  • 2.1 Egységes elosztás n pontokon
  • 2.2 Binomiális eloszlás
  • 2.3. Poisson-eloszlás
  • 2.4 Hipergeometriai eloszlás
• 3 A gyakorlatok megoldása
  • 3.1 Első gyakorlat
  • 3.2 Második gyakorlat
  • 3.3 Harmadik gyakorlat
  • 3.4 Harmadik gyakorlat
• 4 Referenciák

jellemzői

A valószínűségi eloszlás funkciónak meg kell felelnie a következő feltételeknek:

Ha az X csak véges számú értéket vesz fel (például x1, x2, ..., xn), akkor p (xi) = 0, ha i> ny, ezért a b feltétel nélküli végtelen sorozata egy véges sorozat.

Ez a funkció a következő tulajdonságokat is kielégíti:

Legyen B egy esemény, amely az X véletlen változóhoz kapcsolódik. Ez azt jelenti, hogy B az X (S) -ben van. Tegyük fel, hogy B = xi1, xi2, .... ezért:

Más szavakkal: egy B esemény valószínűsége megegyezik a B-hez kapcsolódó egyéni eredmények valószínűségeinek összegével.

Ebből arra lehet következtetni, hogy ha a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

típus

Egységes elosztás n pontokon

Azt mondják, hogy az X véletlen változó olyan eloszlást követ, amelyet az egyenlőség jellemez n pontban, ha minden érték azonos valószínűséggel van rendelve. A valószínűségi tömegfüggvénye:

Tegyük fel, hogy van egy olyan kísérletünk, amely két lehetséges kimenettel rendelkezik, lehet egy érme dobása, amelynek lehetséges kimenetei arc vagy bélyeg, vagy egy egész szám kiválasztása, amelynek eredménye lehet páros szám vagy páratlan szám; ez a fajta kísérlet Bernoulli teszteként ismert.

Általában a két lehetséges eredményt sikernek és kudarcnak nevezzük, ahol p a siker valószínűsége és 1-p a kudarc valószínűsége. Meg tudjuk határozni, hogy az x Bernoulli-tesztek x-sikerei milyen valószínűséggel egymástól függetlenek a következő eloszlással.

Binomiális eloszlás

Ez az a funkció, amely az x sikerek megszerzésének valószínűségét jelzi n független Bernoulli tesztekben, amelyek sikerességének valószínűsége p. A valószínűségi tömegfüggvénye:

A következő grafikon a binomiális eloszlás paramétereinek különböző értékei valószínűségi függvényének tömegét mutatja.

A következő elosztás a nevét a Simeon Poisson francia matematikusnak (1781-1840) köszönheti, aki ezt a binomiális eloszlás határértékeként szerezte meg..

Poisson-eloszlás

Azt mondják, hogy az X véletlen változónak az λ paraméter Poisson-eloszlása ​​van, amikor a következő pozitív valószínűséggel vehet fel 0,1,2,3-es pozitív egész értékeket:

Ebben a kifejezésben λ az átlagos időszám, amely megfelel az esemény minden egyes időegységének előfordulásának, és x az esemény bekövetkezésének száma..

A valószínűségi tömegfüggvénye:

Ezután egy grafikon, amely a Poisson-eloszlás paramétereinek különböző értékeinek valószínűségi tömegfüggvényét ábrázolja.

Megjegyezzük, hogy mindaddig, amíg a sikerek száma alacsony, és a binomiális eloszlásban végzett vizsgálatok száma n magas, mindig közelíthetjük ezeket az eloszlásokat, mivel a Poisson-eloszlás a binomiális eloszlás határa..

A két eloszlás között a fő különbség az, hogy míg a binomiális két paramétertől függ: n és p -, a Poisson csak a λ függvénytől függ, amelyet néha az eloszlás intenzitásának nevezünk..

Eddig csak azokról az esetekről beszéltünk valószínűségi eloszlásokról, amelyekben a különböző kísérletek egymástól függetlenek; azaz, ha az egyik eredményét más eredmény nem érinti.

Ha a nem független kísérletekre van szükség, akkor a hipergeometriai eloszlás nagyon hasznos.

Hypergeometric eloszlás

Legyen N a véges halmaz összes objektumának száma, amelyből valamilyen módon azonosíthatunk k-t, és K-alkészletet alkotunk, amelynek komplementjét a fennmaradó N-k elemek alkotják.

Ha véletlenszerűen n objektumokat választunk, akkor az X véletlen változó, amely a K-hoz tartozó objektumok számát jelenti, az N, n és k paraméterek hipergeometriai eloszlása. A valószínűségi tömegfüggvénye:

A következő grafikon a hipergeometrikus eloszlás paramétereinek különböző értékeihez tartozó valószínűségi függvény tömegét mutatja.

Megoldott gyakorlatok

Első gyakorlat

Tegyük fel, hogy annak a valószínűsége, hogy egy rádiócső (egy bizonyos típusú berendezésbe kerül) több mint 500 órán keresztül működik, 0,2. Ha 20 csövet tesztelünk, mi a valószínűsége annak, hogy pontosan k ezekből 500-nál többet fog működni, k = 0, 1,2, ..., 20?

megoldás

Ha X a több mint 500 órát meghaladó csövek száma, akkor feltételezzük, hogy X binomiális eloszlású. majd

És így:

K≥11 esetén a valószínűségek kisebbek, mint 0,001

Így láthatjuk, hogy a k valószínűsége, hogy ezek k több mint 500 órát működnek, addig emelkedik, amíg el nem éri a maximális értékét (k = 4), majd csökkenni kezd.

Második gyakorlat

Az érmét 6-szor dobják. Ha az eredmény drága, azt mondjuk, hogy ez sikeres. Mi a valószínűsége annak, hogy két arc jön ki pontosan?

megoldás

Ebben az esetben n = 6 és mind a siker, mind a kudarc valószínűsége p = q = 1/2

Ezért a valószínűség, hogy két arcot adunk meg (azaz k = 2)

Harmadik gyakorlat

Mi a valószínűsége, hogy legalább négy arcot találjunk?

megoldás

Ebben az esetben k = 4, 5 vagy 6

Harmadik gyakorlat

Tegyük fel, hogy a gyárban előállított árucikkek 2% -a hibás. Keressük meg a P valószínűséget, hogy három hibás elem van egy 100 tételből álló mintában.

megoldás

Ebben az esetben binomiális eloszlást tudtunk alkalmazni n = 100 és p = 0,02 esetén, így:

Mivel azonban a p kicsi, a Poisson közelítést használjuk λ = np = 2 értékkel. így,

referenciák

1. Kai Lai Chung Elsődleges megvalósíthatósági elmélet sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen, diszkrét matematika és alkalmazásai. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Valószínűség és statisztikai alkalmazások. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diszkrét matematika megoldott problémák. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. A valószínűség elmélete és problémái. McGraw-Hill.