Szintetikus osztály módszer és megoldott gyakorlatok

az szintetikus részleg ez egy egyszerű módja annak, hogy a P (x) polinomot a d (x) = x - c formában bármelyikével megoszthassuk. Ez egy nagyon hasznos eszköz, mivel amellett, hogy lehetővé teszi számunkra a polinomok megosztását, azt is lehetővé teszi számunkra, hogy egy P (x) polinomot bármely számban értékeljünk, ami pontosan azt jelenti, hogy ez a szám nulla vagy nem a polinom..

A megosztási algoritmusnak köszönhetően tudjuk, hogy ha két polinom van P (x) és d (x) nem állandó, vannak polinomok q (x) és r (x) olyan egyedi, hogy igaz, hogy P (x) = q (x) d (x) + r (x), ahol r (x) nulla, vagy kisebb, mint q (x). Ezeket a polinomokat hányadosnak, illetve maradéknak vagy pihenésnek nevezzük.

Azokban az esetekben, amikor a d (x) polinom x-c formájú, a szintetikus osztás egy rövid módja annak, hogy megtaláljuk, ki q (x) és r (x).

index

• 1 Szintetikus megosztási módszer
• 2 A gyakorlatok megoldása
  • 2.1 1. példa
  • 2.2 2. példa
  • 2.3 3. példa
  • 2.4 4. példa
• 3 Referenciák

Szintetikus megosztási módszer

Legyen P (x) = a_nxⁿ+hogy_N-1x^N-1+... + a₁x + a₀ a megosztani kívánt polinom és d (x) = x-c az osztó. A szintetikus megosztási módszerrel való megosztáshoz az alábbiak szerint járunk el:

1- Az első sorban a P (x) együtthatókat írjuk. Ha az X bármelyik ereje nem jelenik meg, nulla értéket adunk meg az együtthatónak.

2- A második sorban az a_n helyezze el a c, és húzza meg az osztóvonalakat az alábbi ábrán látható módon:

3 - A harmadik sorra csökkentsük a vezető együtthatót.

Ebben a kifejezésben b_N-1= a_n

4- c szorozzuk a b együtthatót_N-1 és az eredmény a második sorban, de egy jobb oldali oszlopban van.

5- Mi hozzáadjuk az oszlopot, ahol az előző eredményt írtuk, és azt az eredményt, amelyet az összeg alá vittünk; vagyis ugyanabban az oszlopban, harmadik sorban.

Ha hozzáadjuk, ennek eredményeképpen van_N-1+c * b_N-1, amely a kényelem érdekében b_n-2

6- Az előző eredményt megszorozzuk, és az eredményt a második sorban jobbra írjuk.

7- Megismételjük az 5. és 6. lépést, amíg el nem érjük az a együtthatót₀.

8- Írja meg a választ; azaz a hányados és a maradék. Ahogyan az n-es fokozatú polinom 1. fokozatú polinomja közötti megoszlását hajtjuk végre, az n-1 fok súlyos hányadosa van.

A hányados polinom együtthatók a harmadik sor számai lesznek, kivéve az utolsó, amely az osztás maradék polinomja vagy maradéka lesz..

Megoldott gyakorlatok

1. példa

Végezze el a következő megosztást a szintetikus megosztási módszerrel:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

megoldás

Először az osztalék-együtthatókat az alábbiak szerint írjuk:

Ezután c-et írunk a bal oldalon, a második sorban a felosztási vonalakkal együtt. Ebben a példában c = -1.

Csökkentjük a vezető együtthatót (ebben az esetben b_N-1 = 1) és szorozzuk meg -1-vel:

Az eredményt a második sorban jobbra írjuk, az alábbiak szerint:

Hozzáadjuk a számokat a második oszlopba:

Szorozunk 2 -et -1-el és írjuk az eredményt a harmadik oszlop második sorába:

A harmadik oszlopba hozzáadjuk:

Hasonlóan haladunk, amíg el nem érjük az utolsó oszlopot:

Így van, hogy az utolsó megszerzett szám az osztás többi része, a fennmaradó számok pedig a hányados polinom együtthatók. Ez a következőképpen íródik:

Ha szeretnénk ellenőrizni, hogy az eredmény helyes-e, elegendő annak ellenőrzése, hogy a következő egyenlet teljesül:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Így ellenőrizhetjük, hogy a kapott eredmény helyes-e.

2. példa

Végezze el a polinomok következő megosztását a szintetikus osztási módszerrel

(7x³-x + 2): (x + 2)

megoldás

Ebben az esetben az x² nem jelenik meg, így 0-ra írjuk az együtthatót. Tehát a polinom olyan lenne, mint a 7x³+0x²-x + 2.

Az együtthatókat egymás után írjuk, ez:

C = -2 értéket írunk a második sor bal oldalán, és rajzoljuk meg az osztási vonalakat.

A b_N-1 = 7, és szorozzuk meg -2-vel, írva annak eredményét a jobb oldalon lévő második sorban.

Hozzáadjuk és folytatjuk a fentiekben leírtak szerint, amíg el nem érjük az utolsó kifejezést:

Ebben az esetben a többi r (x) = - 52, és a kapott hányados q (x) = 7x²-14x + 27.

3. példa

A szintetikus szétválasztás másik módja a következő: feltételezzük, hogy van egy n fokú P (x) polinom, és azt szeretnénk tudni, hogy mi az érték, ha az x = c értéket értékeljük..

Az osztás algoritmusa szerint a P (x) polinomot az alábbi módon írhatjuk:

Ebben a kifejezésben q (x) és r (x) a hányados és a többi. Most, ha d (x) = x- c, ha a polinomban c-ben értékeli, akkor a következőket találjuk:

Ehhez csak r (x) -t kell találnunk, és ezt a szintetikus részlegnek köszönhetjük.

Például P (x) = x polinom van⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37, és azt szeretnénk tudni, hogy mi az értéke, ha az értéket x = 5-ben értékeli. Ehhez a szintetikus megosztási módszerrel elvégezzük a P (x) és d (x) = x -5 közötti megosztást:

Miután elvégeztük a műveleteket, tudjuk, hogy a következőképpen írhatunk P (x) -t:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Ezért annak értékelése során:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) + 179 (5) + 858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) + 179 (5) + 858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Amint látjuk, a szintetikus részleg használatával meg lehet találni egy polinom értékét, amikor azt c-ben értékeli, ahelyett, hogy egyszerűen helyettesítené a c-t x-vel.. 

Ha megpróbáltuk a P (5) -et hagyományos módon értékelni, akkor néhány számítást kell elvégeznünk, amelyek hajlamosak legyenek unalmasak.

4. példa

A polinomok megosztásának algoritmusa komplex együtthatókkal rendelkező polinomok esetében is teljesül, és ennek következtében a szintetikus osztási módszer az említett polinomokra is vonatkozik. Ezután egy példát fogunk látni.

A szintetikus megosztási módszert alkalmazzuk annak kimutatására, hogy z = 1+ 2i a P (x) = x polinom nulla.³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); vagyis a d (x) = x - z közötti P (x) divízió fennmaradó része nulla.

Az előző sorrendben folytatjuk: az első sorban a P (x) együtthatókat írjuk, majd a másodikban z-t írunk és rajzoljuk meg az osztási vonalakat.

Az elosztást azelőtt végezzük; ez:

Láthatjuk, hogy a maradék nulla; ezért arra a következtetésre jutunk, hogy z = 1+ 2i P (x) nulla..

referenciák

1. Baldor Aurelio. algebra. Patria Szerkesztői Csoport.
2. Demana, Waits, Foley és Kennedy. Precalculus: Grafikon, numerikus, algebrai 7. kiadás Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra és Trigonometria analitikai geometriával. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus 4. ed. Pearson oktatás.
5. Red. Armando O. Algebra 1 6th Ed. Az Athenaeum.