Lineáris interpolációs módszer, megoldott gyakorlatok



az lineáris interpoláció egy olyan módszer, amely a Newton általános interpolációjából származik, és lehetővé teszi, hogy közelítéssel meghatározzuk a két adott szám közötti ismeretlen értéket; azaz közbenső érték van. A közelítő függvényekre is alkalmazzák, ahol az f értékek(A) és f(B) ismertek, és az f(X).

Az interpolációnak különböző típusai vannak, mint például a lineáris, négyzetes, köbös és magasabb fokozatok, a legegyszerűbb a lineáris közelítés. A lineáris interpolációval fizetendő ár az, hogy az eredmény nem lesz olyan pontos, mint a magasabb fokozatok függvényeivel való közelítéssel.

index

  • 1 Meghatározás
  • 2 Módszer
  • 3 A gyakorlatok megoldása
    • 3.1 1. gyakorlat
    • 3.2 2. gyakorlat
  • 4 Referenciák

meghatározás

A lineáris interpoláció olyan folyamat, amely lehetővé teszi, hogy két jól definiált érték között értéket hozzon létre, amely egy táblázatban vagy egy lineáris gráfban lehet..

Például, ha tudod, hogy 3 liter tejet érdemes 4 dollárért, és 5 liter 7 dollárt ér, de azt szeretnéd tudni, hogy mi a 4 liter tej értéke, interpolálva, hogy meghatározzuk a köztes értéket.

módszer

Egy függvény közbenső értékének becsléséhez az f függvényt közelítjük meg(X) egyenes r segítségével(X), ez azt jelenti, hogy a függvény lineárisan változik az "x" értékkel az "x = a" és az "x = b" szakaszoknál; azaz az "x" érték az intervallumban (x0, x1) és (és0, és1), az "y" értéket a pontok közötti sor adja, és ezt a következő összefüggés fejezi ki:

(és - és0) ÷ (x - x0) = (és1 - és0) ÷ (x1 - x0)

Ahhoz, hogy egy interpoláció lineáris legyen, szükséges, hogy az interpolációs polinom fokozatú legyen (n = 1), hogy az x értékekhez igazodjon0 és x1.

A lineáris interpoláció a háromszögek hasonlóságán alapul, úgyhogy az előző kifejezésből geometriai értelemben az "y" értéket kapjuk, ami az "x" ismeretlen értékét jelenti..

Így kell:

a = tan Ɵ = (ellenkező oldal1 ÷ szomszédos láb1) = (ellentétes oldal2 ÷ szomszédos láb2)

Más módon kifejezve:

(és - és0) ÷ (x - x0) = (és1 - és0) ÷ (x1 - x0)

A kifejezések „és” törlése:

(és - és0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (és1 - és0)

(és - és0) = (és1 - és0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Így a lineáris interpoláció általános egyenletét kapjuk:

y = y0 + (és1 - és0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Általánosságban elmondható, hogy a lineáris interpoláció egy kis hibát ad a valódi függvény valós értékénél, bár a hiba minimális, mint ha intuitívan választ egy számot, amely közel van ahhoz, amelyhez megtalálni kívánja.

Ez a hiba akkor fordul elő, ha megpróbál közelíteni egy görbe értékét egy egyenes vonallal; ezekben az esetekben az intervallum méretét csökkenteni kell, hogy a közelítés pontosabb legyen.

A megközelítéssel kapcsolatos jobb eredmények érdekében ajánlatos a 2., 3. vagy még magasabb fokozatú funkciókat használni az interpoláláshoz. Ezekben az esetekben a Taylor tétel nagyon hasznos eszköz.

Megoldott gyakorlatok

1. gyakorlat

Az x-óra elteltével inkubációban lévő egységnyi térfogatra eső baktériumok száma az alábbi táblázatban található. Tudni szeretné, hogy mi a 3,5 órás baktériumok mennyisége.

megoldás

A referenciatáblázat nem állapít meg olyan értéket, amely 3,5 óráig jelzi a baktériumok mennyiségét, de magasabb és alacsonyabb értékekkel rendelkezik, ami megfelel a 3 és 4 óra időtartamnak. Ily módon:

x0 = 3 és0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 és1 = 135

Most a matematikai egyenletet alkalmazzuk az interpolált érték megtalálásához, amely a következő:

y = y0 + (és1 - és0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Ezután a megfelelő értékeket helyettesítik:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0.5

y = 113.

Így azt tapasztaltuk, hogy 3,5 óra múlva a baktériumok mennyisége 113, ami egy 3 és 4 óra közötti baktériumok térfogatának közbenső szintje..

2. gyakorlat

Luis rendelkezik fagylaltgyárral, és tanulmányt szeretne tenni, hogy meghatározza az augusztusban elszenvedett bevételeket a megtett kiadásokból. A társaság vezetője grafikont készít, amely kifejezi ezt a kapcsolatot, de Luis szeretné tudni:

Melyek az augusztusi jövedelem, ha 55.000 dollár költséget tettek??

megoldás

A grafikon a bevételek és a kiadások értékeit tartalmazza. Luis azt akarja tudni, hogy mi az augusztusi jövedelem, ha a gyár 55 000 dollár költséggel jár. Ez az érték nem tükröződik közvetlenül a grafikonban, de az értékek magasabbak és alacsonyabbak.

Először egy táblázatot készítenek, ahol az értékeket könnyedén kapcsolhatjuk össze:

Most az interpolációs képletet az y értékének meghatározására használjuk

y = y0 + (és1 - és0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Ezután a megfelelő értékeket helyettesítik:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) * [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) * (0,588)

y = 56,000 + 12,936

y = $ 68,936.

Ha augusztusban 55.000 dollár költséget fizettek, a bevétel 68,936 dollár volt.

referenciák

  1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
  2. Harpe, P. d. (2000). Témák a geometriai csoportelméletben. University of Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Lineáris interpoláció ", Matematika enciklopédia.
  4. , J. M. (1998). Számítási módszerek a mérnöki tervezéshez. UASLP.
  5. , E. (2002). Az interpoláció kronológiája: az ókori csillagászattól a modern jel- és képfeldolgozásig. Az IEEE eljárásai.
  6. numerikus, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.