Morgan törvényei

Az lMorgan szemei ezek a feltételezési logikában alkalmazott következtetések szabályai, amelyek megállapítják, hogy mi az eredménye a diszjunkció megtagadásának és a javaslatok vagy a javasolt változók együttesének. Ezeket a törvényeket Augustus De Morgan matematikus határozta meg.

A Morgan törvényei nagyon hasznos eszköznek bizonyulnak a matematikai érvelés érvényességének bizonyításához. Később a matematikus, George Boole a készletek fogalmán belül általánosították.

Ez a Boole által végzett általánosítás teljesen megegyezik Morgan kezdeti törvényeivel, de kifejezetten a készletekre, nem pedig javaslatokra fejlesztették ki. Ez az általánosítás Morgan törvényeként is ismert.

index

• 1 A javaslati logika áttekintése
  • 1.1
  • 1.2 Javaslatok
• 2 Morgan törvényei
  • 2.1 Bemutatás
• 3 Beállít
  • 3.1. Egyesületek, egyesülések és kiegészítések
• 4 Morgan törvényei a halmazokra
• 5 Referenciák

A javaslati logika áttekintése

Mielőtt megnéznénk, hogy mit mondanak Morgan törvényei és hogyan használják őket, célszerű emlékezni néhány alapfogalmára a javaslati logikáról. (További részletek a javasolt logikai cikkben találhatók).

A matematikai (vagy javaslati) logika területén egy következtetés következik, amelyet egy helyiség vagy egy hipotézis sorozata bocsát ki. Ez a következtetés az említett helyiségekkel együtt indokolja a matematikai érvelést.

Ezt az érvelést bizonyítani vagy megtagadni kell; azaz nem minden matematikai érvelés következtetése vagy következtetése érvényes.

tévedés

A hamis következtetések, amelyek bizonyos feltételezésekből erednek, és amelyek feltételezhetően igaznak tekintendők, hamisnak minősülnek. A tévhitek sajátossága, hogy helyesnek tűnő érvek, de matematikailag nem.

A propozíciós logika felelős a módszerek pontos fejlesztéséért és biztosításáért, amellyel minden kétséget kizáróan, matematikai érvelést validálhat vagy visszautasíthat; azaz helyes következtetést von le a helyiségekből. Ezeket a módszereket következtetési szabályoknak nevezik, amelyek részei Morgan törvényei.

javaslatok

A javaslati logika lényeges elemei a javaslatok. A javaslatok olyan állítások, amelyek alapján meg lehet mondani, hogy érvényesek-e vagy sem, de ugyanakkor nem lehetnek igazak vagy hamisak. Ebben az ügyben nem lehet kétértelmű.

Ahogy a számok kombinálhatók az addíció, kivonás, szorzás és osztás műveletein keresztül, a javaslatok az ismert kötő (vagy csatlakozók) logikai: negation (¬, "no"), diszjunktúra (V , "O"), összefüggés (Ʌ, "és"), feltételes (→, "ha ..., akkor ...") és kétirányú (↔, "igen, és csak akkor").

Ha általánosabban akarunk dolgozni, a konkrét javaslatok megfontolása helyett javaslati változókat veszünk figyelembe, amelyek bármilyen javaslatot képviselnek, és általában p, q, r, s stb..

A feltételes képlet a feltételes változók kombinációja a logikai kötőelemek egy részén keresztül. Más szavakkal, ez a feltételes változók összetétele. Ezek általában görög betűkkel vannak jelölve.

Azt mondják, hogy a feltételes képlet logikailag egy másikra utal, ha az utóbbi igaz minden alkalommal, amikor az első igaz. Ezt a következő jelzi:

Ha a két feltételes képlet közötti logikai implikáció viszonylagos - vagyis, ha az előző implikáció az ellenkező irányban is érvényes - a képletek logikailag egyenértékűek, és azt a

A logikai egyenértékűség egyfajta egyenlőség a feltételes képletek között, és lehetővé teszi, hogy szükség esetén cserélje ki a másikra.

Morgan törvényei

A Morgan törvényei két logikai egyenletből állnak, amelyek két javaslatforma között vannak, nevezetesen:

Ezek a törvények lehetővé teszik a diszjunkció vagy a kapcsolat negációjának elkülönítését, mint az érintett változók kizárását.

Az első a következőképpen olvasható: a diszjunkció negálása egyenlő a negációk összekapcsolásával. A második pedig így szól: a negáció kizárása a negációk diszpozíciója.

Más szavakkal, a két változó diszjunkciójának megtagadása egyenértékű mindkét változó negációinak együttadásával. Hasonlóképpen, két tagadási változó összekapcsolásának megtagadása egyenértékű mindkét változó negációinak szétválasztásával.

Amint azt korábban említettük, ennek a logikai egyenértékűségnek a helyettesítése segít a fontos eredmények bemutatásában, a többi meglévő szabályrendszer mellett. Ezekkel egyszerűsítheti a sokféle feltételezési képletet, így azok hasznosabbak a munkához.

Az alábbiakban egy példa egy matematikai bizonyítékra, amely a Morgan törvényei közé tartozik. Pontosabban kimutatták, hogy a képlet:

egyenértékű:

Ez utóbbi egyszerűbb megérteni és fejleszteni.

mutat

Érdemes megemlíteni, hogy a Morgan törvényeinek érvényessége matematikailag kimutatható. Az egyik mód az igazság táblázatok összehasonlítása.

készletek

Ugyanezek a következtetési szabályok és a javaslatokra alkalmazott logika fogalmak is kialakíthatók a készletek figyelembevételével. Ez az úgynevezett Boole-algebra, George Boole matematikusa után.

Az esetek megkülönböztetéséhez meg kell változtatni a jelölést és az átadást a készletekbe, az összes elképzelés logikája már látható..

A készlet objektumok gyűjteménye. A készleteket A, B, C, X, ... betűkkel jelöltük, és egy készlet elemeit kisbetűvel, a, b, c, x stb. Jelöli. Ha egy elem egy X-es csoporthoz tartozik, akkor azt a következő jelzi:

Ha nem tartozik az X-hez, a jelölés:

A halmazok ábrázolásának módja az elemek elhelyezése a kulcsokon belül. Például a természetes számok halmazát a következő:

A szettek is jeleníthetők meg, anélkül, hogy kifejezett listát írnának az elemeikről. Ezeket a következő formában lehet kifejezni: :. A két pont oly módon olvasható, hogy ". A készlet elemeit reprezentáló változó a két pont bal oldalán helyezkedik el, és a megfelelő tulajdonság vagy állapot a jobb oldalon található. Ez a következő:

Például a -4-nél nagyobb egész számok kifejezhetők:

Vagy egyenértékűen, és röviden, mint:

Hasonlóképpen, a következő kifejezések a páros és páratlan számok halmazait képviselik, illetve:

Unió, a kereszteződések és a készletek kiegészítései

Ezután meg fogjuk találni a logikai kötés analógjait a halmazok esetében, amelyek a készletek közötti alapműveletek részét képezik.

Unió és kereszteződés

Az egyesülések és a halmazok metszéspontja a következőképpen van meghatározva:

Vegyük például a készleteket:

Ezután:

kiegészítés

A készlet komplementjét azok az elemek alkotják, amelyek nem tartoznak az adott készlethez (ugyanolyan típusú, mint az eredeti). Az A készlet komplementje:

Például a természetes számokon belül a páros számok halmaza a páratlan számok összessége, és fordítva.

A készlet komplementjének meghatározásához kezdettől fogva egyértelműnek kell lennie az egyetemes vagy fő elemcsoportoknak, amelyeket figyelembe veszünk. Például, nem egyenlő, ha figyelembe vesszük a természetes számokra vonatkozó készlet kiegészítését a racionális számokon.

Az alábbi táblázat a korábban meghatározott halmazok műveletei közötti összefüggést vagy analógiát mutatja, és a feltételezett logika összekapcsolódóit.

Morgan törvényei a készletekhez

Végül, Morgan törvények a halmazokról:

Szavakkal: az unió kiegészítése a kiegészítők metszéspontja, és a kereszteződés kiegészítése a kiegészítők egyesülése..

Az első egyenlőség matematikai bizonyítéka a következő:

A második bemutatása analóg.

referenciák

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Szerkesztői Limusa.
2. Aylwin, C. U. (2011). Logika, szettek és számok. Mérida - Venezuela: Publikációs Tanács, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. és Soto, A. (1998). Bevezetés a számelméletbe. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Számelméleti alaptanfolyam. Az Északi Egyetem.
5. Cofré, A. és Tapia, L. (1995). Hogyan alakítható ki a matematikai logikai érvelés. University Editorial.
6. Guevara, M. H. (s.f.). A számok elmélete. EUNED.
7. Zaragoza, A.C.. Számok elmélete. Szerkesztő Vision könyvek.