Bolzano elméletének magyarázata, alkalmazások és gyakorlatok megoldva

az Bolzano tétel megállapítja, hogy ha egy függvény zárt intervallum minden pontján folyamatos [a, b], és meggyőződött arról, hogy az "a" és "b" kép (a függvény alatt) ellentétes jelekkel rendelkezik, akkor legalább egy pont lesz "C" a nyitott intervallumban (a, b) úgy, hogy a "c" -ben értékelt függvény 0 lesz.

Ezt a tételt a filozófus, a teológus és a matematikus Bernard Bolzano közölte 1850-ben. Ez a tudós, a mai Cseh Köztársaságban született, az egyik első matematikus volt a történelemben, hogy formálisan bemutassa a folyamatos funkciók tulajdonságait..

index

• 1 Magyarázat
• 2 Bemutatás
• 3 Mi az??
• 4 A gyakorlatok megoldása
  • 4.1 1. gyakorlat
  • 4.2 2. gyakorlat
• 5 Referenciák

magyarázat

Bolzano tételét közbenső érték-tételnek is nevezik, amely segít meghatározni a valós változók bizonyos valós funkcióinak konkrét értékeit, különösen a nullákat..

Egy adott függvényben f (x) folytatódik, azaz, hogy f (a) és f (b) egy görbe, ahol f (a) az x-tengely alatt van (negatív), és f (b) az x tengely fölött (pozitív), vagy fordítva, az x tengelyen grafikusan lesz egy vágási pont, amely egy "c" közbenső értéket képvisel, amely "a" és "b" között lesz, és az f (c) értéke. 0 lesz.

A Bolzano tételének grafikus elemzésével tudjuk, hogy minden f függvényben, amely egy [a, b] intervallumban definiálva van, ahol f (a)_*f (b) kisebb, mint 0, legalább egy gyökér "c" a függvényen belül (a, b).

Ez a tétel nem határozza meg a nyitott intervallumban létező pontok számát, csak azt állítja, hogy legalább 1 pont van.

mutat

Bolzano tétele bizonyításához az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy az f (a) < 0 y f(b) > 0; így az "a" és a "b" között sok érték lehet, amelyekhez f (x) = 0, de csak azt kell mutatnia, hogy van egy.

Kezdje az f értékének a középpontban (a + b) / 2 kiértékelésével. Ha f ((a + b) / 2) = 0, akkor a teszt itt véget ér; ellenkező esetben az f ((a + b) / 2) pozitív vagy negatív.

Az [a, b] intervallum egyik felét úgy választjuk meg, hogy a végeken értékelt funkció jelei eltérőek. Ez az új intervallum [a1, b1] lesz.

Most, ha az [a1, b1] középpontjában értékelt f értéke nem nulla, akkor ugyanaz a művelet történik, mint azelőtt; ez azt jelenti, hogy a jelek állapotának megfelelő időintervallum felét választják. Legyen ez az új intervallum [a2, b2].

Ha ez a folyamat folytatódik, akkor két egymást követő an és bn sor kerül, hogy:

an növekszik, és bn csökken:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Ha kiszámítja az egyes intervallumok hosszát [ai, bi], akkor:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Ezért a határérték, amikor n a (bn-an) végtelenre hajlamos, 0.

A a növekvő és korlátozott használata és bn csökkenő és korlátozott értékű "c" értéknek kell lennie, hogy:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Az an értéke "c", és a bn határ is "c". Ezért, ha bármilyen δ> 0 van, mindig van egy "n", ami azt jelenti, hogy az [an, bn] intervallum az intervallumban van (c-δ, c + δ).

Most be kell mutatni, hogy f (c) = 0.

Ha f (c)> 0, akkor mivel f folyamatos, létezik egy ε> 0, úgy, hogy f az egész intervallumban pozitív (c-ε, c + ε). A fentiekben leírtak szerint azonban az "n" érték olyan, hogy az f az [an, bn] értékben változik, és a [c, ε, c + ε] is tartalmaz [an, bn] értéket. mi az ellentmondás.

Ha f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 úgy, hogy f az egész intervallumban (c-e, c + ε) negatív; de létezik egy „n” érték, amelyen az f bejelentkezik [an, bn]. Kiderül, hogy az [an, bn] a (c-ε, c + ε) ben van, ami szintén ellentmondás..

Ezért, f (c) = 0, és ezt akartuk demonstrálni.

Mi az??

Grafikus értelmezéséből kiindulva Bolzano tételét a folyamatos függvényben lévő gyökerek vagy nullák megtalálására használják a bisection (közelítés) segítségével, amely egy növekményes keresési módszer, amely mindig osztja az intervallumokat 2-re.

Ezután vegyen egy [a, c] vagy [c, b] intervallumot, ahol a jel megváltozik, és ismételje meg a folyamatot, amíg az intervallum kisebb és kisebb, így közelítheti a kívánt értéket; azaz a függvény 0 értékét.

Összefoglalva, a Bolzano tételének alkalmazásához és így a gyökerek megtalálásához, a függvény nulláinak határolásához vagy az egyenlet megoldásához az alábbi lépéseket kell végrehajtani:

- Ellenőrzi, hogy az f az [a, b] intervallumban folyamatos funkció-e..

- Ha az intervallum nincs megadva, akkor ott kell találni, ahol a függvény folyamatos.

- Ellenőrizzük, hogy az intervallum szélsőségei ellentétes jeleket adnak-e az f.

- Ha ellentétes jeleket nem kapunk, az intervallumot két középintervallumra kell osztani a középponttal.

- Értékelje a funkciót a középpontban, és ellenőrizze, hogy a Bolzano hipotézis teljesül-e, ahol f (a) _* f (b) < 0.

- A megállapított érték jelétől (pozitív vagy negatív) függően az eljárást egy új alinterval ismételjük, amíg az említett hipotézis teljesül..

Megoldott gyakorlatok

1. gyakorlat

Határozza meg, hogy az f (x) = x függvény² - A 2. ábrán látható legalább egy valós megoldás az [1,2] intervallumban.

megoldás

F (x) = x függvényünk van² - 2. Mivel polinom, ez azt jelenti, hogy folyamatos minden intervallumban.

Megkérjük, hogy határozza meg, hogy van-e valódi megoldása az [1, 2] intervallumban, így most már csak a függvényben lévő intervallum végeit kell kicserélnie, hogy megismerje ezek jelét, és tudja, hogy megfelelnek-e a különböző feltételeknek:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatív)

f (2) = 2² - 2 = 2 (pozitív)

Ezért az f (1) f f jel (2) jele.

Ez biztosítja, hogy legalább egy "c" pont legyen az [1,2], ahol f (c) = 0.

Ebben az esetben a "c" értéke könnyen kiszámítható az alábbiak szerint:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Így az √2 ≈ 1,4 az [1,2] intervallumhoz tartozik, és kielégíti azt, hogy f (√2) = 0.

2. gyakorlat

Bizonyítsuk be, hogy az x egyenlet⁵ + x + 1 = 0 legalább egy valódi megoldással rendelkezik.

megoldás

Először vegye figyelembe, hogy f (x) = x⁵ + Az x + 1 egy polinom funkció, ami azt jelenti, hogy minden valós számban folyamatos.

Ebben az esetben nincs megadva intervallum, így az értékeket intuitív módon, előnyösen 0-ra kell választani a funkció értékeléséhez és a jel változásának megismeréséhez:

Ha a [0, 1] intervallumot használja, akkor:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Mivel nincs jelváltozás, a folyamat egy másik intervallummal megismétlődik.

Ha a [-1, 0] intervallumot használja, akkor:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Ebben az intervallumban az f (-1) ≠ f (0) jel jele változik, ami azt jelenti, hogy az f (x) = x függvény⁵ + Az x + 1 legalább egy igazi "c" gyökér a [-1, 0] intervallumban, úgy, hogy f (c) = 0. Más szóval, igaz, hogy x⁵ + x + 1 = 0 egy valós megoldással rendelkezik a [-1,0] intervallumban.

referenciák

1. Bronshtein I, S. K. (1988). A mérnökök és diákok matematikai kézikönyve ... Szerkesztői MIR.
2. George, A. (1994). Matematika és elme. Oxford University Press.
3. Ilín V. P. E. (1991). Matematikai elemzés Három kötetben ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Középiskolai tanárok. II. Kötet. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Az elemzés alapvető tulajdonságai R. Editoresben, december 20..
6. Piskunov, N. (1980). Differenciál és integrált számítás ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematika a gazdasági elemzéshez. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Folyamatos szimmetria: Euclidtól Kleinig. American Mathematical Soc.