Chebyshov elmélete, amit tartalmaz, alkalmazások és példák



az Chebyshov-tétel (vagy Chebyshov egyenlőtlensége) a valószínűségelmélet egyik legfontosabb klasszikus eredménye. Lehetővé teszi, hogy megbecsüljük a véletlen változó X-ben leírt esemény valószínűségét úgy, hogy olyan dimenziót biztosítunk, amely nem függ a véletlen változó eloszlásától, hanem az X varianciájától..

A tétel az orosz matematikus, Pafnuty Chebyshov nevét kapta (Chebychev vagy Tchebycheff néven is), aki, annak ellenére, hogy nem volt az első, aki ezt a tételt közölte, volt az első, aki 1867-ben demonstrációt adott..

Ezt az egyenlőtlenséget, vagy azokat, amelyeket sajátosságuk szerint Chebyshov egyenlőtlenségnek nevezzük, elsősorban a valószínűségek számításánál használják fel..

index

  • 1 Mit tartalmaz ez??
  • 2 Alkalmazások és példák
    • 2.1 Kötési valószínűségek
    • 2.2 A határelméleti tételek bemutatása
    • 2.3 Minta mérete
  • 3 Az egyenlőtlenségek típusa Chebyshov
  • 4 Referenciák

Mit tartalmaz ez??

A valószínűségi elmélet tanulmányozásakor előfordul, hogy ha ismerjük az X véletlen változó eloszlási funkcióját, akkor kiszámíthatjuk annak várható értékét vagy E (X) matematikai várakozását, és Var (X) variációját, mindaddig, amíg az említett összegek léteznek. A kölcsönösség azonban nem feltétlenül igaz.

Ez azt jelenti, hogy az E (X) és a Var (X) ismerete nem feltétlenül lehetséges az X eloszlásfüggvényének megszerzésére, így bizonyos k> 0-hoz hasonló mennyiségű P (| X |> k) mennyisége nagyon nehéz. De Chebyshov egyenlőtlenségének köszönhetően lehetséges a véletlen változó valószínűségének becslése.

Chebyshov-tétel azt mondja nekünk, hogy ha egy S valószínűségi függvényrel rendelkező S mintadarabon van egy X-es véletlen változó, és ha k> 0, akkor:

Alkalmazások és példák

A sok Chebyshov-tételhez tartozó alkalmazás közül az alábbiakat említhetjük:

A valószínűségek határolása

Ez a leggyakoribb alkalmazás, és a P (| X-E (X) | ≥k) felső határértékének megadására szolgál, ahol k> 0, csak a variancia és az X véletlen változó elvárása nélkül, a valószínűségi függvény ismerete nélkül.

1. példa

Tegyük fel, hogy egy vállalatban egy hét alatt gyártott termékek száma egy véletlen változó, amelynek átlaga 50%.

Ha tudjuk, hogy a termelés egy hetes varianciája 25-tel egyenlő, akkor mit mondhatunk annak a valószínűségét illetően, hogy ezen a héten a termelés az átlagtól 10-nél többet fog eltérni?

megoldás

Chebyshov egyenlőtlenségének alkalmazása:

Ebből arra lehet következtetni, hogy az a valószínűség, hogy a gyártási héten a cikkek száma meghaladja a 10-et az átlagnál, legfeljebb 1/4.

A limit-tételek bemutatása

Chebyshov egyenlőtlensége fontos szerepet játszik a legfontosabb határelméleti tételek bemutatásában. Például:

Gyenge törvény nagy számok

Ez a törvény megállapítja, hogy az X1, X2, ..., Xn, ... sorozatok független véletlen változókkal rendelkeznek, amelyeknek ugyanaz az átlagos eloszlása ​​E (Xi) = μ és variáns Var (X) = σ2, és egy ismert átlagos minta:

Ezután k> 0 esetén:

Vagy egyenértékűen:

mutat

Először vegye figyelembe a következőket:

Mivel az X1, X2, ..., Xn függetlenek, az következik:

Ezért lehetséges a következő megerősítés:

Ezután Chebyshov-tétel segítségével:

Végül a tétel a tényből fakad, hogy a jobb oldali határ nulla, ha az n végtelen.

Meg kell jegyezni, hogy ez a teszt csak abban az esetben történt, amikor a Xi varianciája létezik; azaz nem tér el. Így megfigyeljük, hogy a tétel mindig igaz, ha E (Xi) létezik.

Chebysov-korlát-tétel

Ha X1, X2, ..., Xn, ... egy egymást követő egymástól független véletlen változó, hogy van néhány C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

mutat

Mivel a variációk sorrendje egyenletesen korlátozott, Var (Sn) ≤ C / n, minden természetes n esetében. De tudjuk, hogy:

Azáltal, hogy az n a végtelenség felé halad, az alábbi eredmények:

Mivel a valószínűség nem haladhatja meg az 1 értéket, a kívánt eredményt kapjuk. Ennek a tételnek a következtében megemlíthetjük Bernoulli konkrét esetét.

Ha egy kísérletet n-szer egymástól függetlenül két lehetséges kimenettel (meghibásodás és sikertelenség) ismételnek meg, ahol p az egyes kísérletekben való siker valószínűsége, és X a véletlenszerű változó, amely a kapott sikerek számát jelenti, akkor minden k> 0-ra meg kell:

Minta méret

A variancia tekintetében Chebyshov egyenlőtlensége lehetővé teszi, hogy egy olyan n-es mintaméretet találjunk, amely elegendő ahhoz, hogy garantáljuk, hogy a valószínűség, hogy | Sn-μ |> = k előfordul, olyan kicsi, amennyire csak lehet. az átlaghoz.

Pontosan, hadd X1, X2, ... Xn legyen az n méretű független véletlen változók mintája, és feltételezzük, hogy E (Xi) = μ és annak varianciája σ2. Aztán Chebyshov egyenlőtlensége miatt:

példa

Tegyük fel, hogy X1, X2, ... Xn egy független véletlen változók mintája Bernoulli-eloszlással, így az 1-es értéket a p = 0,5 valószínűséggel veszik fel..

Mi legyen a minta mérete, hogy garantálható legyen annak a valószínűsége, hogy az aritmetikai átlag és a várható érték (több mint 0,1-nél nagyobb) különbsége kisebb vagy egyenlő 0. 01?

megoldás

E (X) = μ = p = 0,5, és hogy Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Chebysov egyenlőtlensége miatt minden k> 0-nak meg kell:

Most, ha k = 0.1 és δ = 0,01, akkor:

Ily módon arra a következtetésre jutottunk, hogy legalább 2500 mintaminta szükséges annak biztosítására, hogy az esemény | Sn - 0,5 |> = 0,1 valószínűsége kisebb legyen, mint 0,01.

Az egyenlőtlenségek típusa Chebyshov

Különböző egyenlőtlenségek vannak Chebyshov egyenlőtlenségével kapcsolatban. Az egyik legismertebb a Markov-egyenlőtlenség:

Ebben az kifejezésben X nem negatív véletlen változó, k, r> 0.

A Markov-egyenlőtlenség különböző formákat ölthet. Tegyük fel például, hogy Y nem-negatív véletlen változó (tehát P (Y> = 0) = 1), és feltételezzük, hogy E (Y) = μ létezik. Tegyük fel, hogy (E (Y))r= μr létezik néhány r> 1 egész számra. akkor:

Egy másik egyenlőtlenség a Gauss-féle egyenlőtlenség, amely azt mondja nekünk, hogy egy unimodális X-es változót adott nullában, majd k> 0-ra.,

referenciák

  1. Kai Lai Chung Elsődleges megvalósíthatósági elmélet sztochasztikus folyamatokkal. Springer-Verlag New York Inc.
  2. Kenneth.H. Rosen, diszkrét matematika és alkalmazásai. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Valószínűség és statisztikai alkalmazások. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diszkrét matematika megoldott problémák. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. A valószínűség elmélete és problémái. McGraw-Hill.