Euklideszi elméleti képletek, demonstrációk, alkalmazások és gyakorlatok

az Euklideszi tétel egy jobb oldali háromszög tulajdonságait ábrázolja egy olyan vonal rajzolásával, amely két új, egymáshoz hasonlító jobb háromszögre osztódik, és amelyek hasonlóak az eredeti háromszöghez; akkor az arányosság összefügg.

Az Euclid az ókori korszak egyik legnagyobb matematikusa és geometrája volt, amely számos fontos tételt mutatott be. Az egyik fő az, aki nevét viseli, és amely széles körben alkalmazható.

Ez azért volt így, mert ez a tétel egyszerűen elmagyarázza a jobb háromszögben létező geometriai kapcsolatokat, ahol ennek lábai a hipotenézisben lévő vetületeikhez kapcsolódnak..

index

• 1 Formulák és demonstrációk
  • 1.1 A magasság elmélete
  • 1.2 A lábak elmélete
• 2 Kapcsolat az Euklideszi tételek között
• 3 A gyakorlatok megoldása
  • 3.1 1. példa
  • 3.2 2. példa
• 4 Referenciák

Formulák és demonstrációk

Euklideszi tétel azt javasolja, hogy minden jobb háromszögben, amikor egy vonalat rajzolunk ki, amely a megfelelő szög csúcsának megfelelő magasságot képviseli a hypotenuse-hez viszonyítva, két jobb háromszög képződik az eredeti.

Ezek a háromszögek hasonlóak lesznek egymáshoz, és hasonlóak lesznek az eredeti háromszöghez, ami azt jelenti, hogy hasonló oldaluk arányosak egymással:

A három háromszög szöge összeegyeztethető; azaz a csúcsán 180 fokos elforgatás esetén a szög egybeesik a másikra. Ez azt jelenti, hogy mindenki egyenlő lesz.

Ily módon ellenőrizheti a három háromszög közötti hasonlóságot a szögük egyenlőségével. A háromszögek hasonlóságából Euclid két tételből állapítja meg ezek arányait:

- Magassági tétel.

- A lábak elmélete.

Ez a tétel széles körben alkalmazható. Az ókorban azt használták, hogy kiszámítsák a magasságokat vagy távolságokat, ami nagy előrelépést jelent a trigonometria számára.

Jelenleg számos olyan területen alkalmazzák, amelyek matematikán alapulnak, mint pl. Mérnöki, fizikai, kémiai és csillagászati, sok más területen..

Magassági tétel

Ez a tétel azt állítja, hogy bármely jobb oldali háromszögben a jobbszögből húzott magasság a hypotenusehez viszonyítva a lábfejek vetületei közötti geometriai arányos (a magasság négyzete), amely meghatározza a hypotenuse-t..

Ez azt jelenti, hogy a magasság négyzetének egyenlő lesz a hipotenuszot képező kivetített lábak szorzásával:

h_c² = m _* n

mutat

Az ABC háromszög, amely a C csúcs egy téglalapja, a magasság megrajzolásakor két hasonló jobb oldali háromszöget, ADC és BCD generál; ezért megfelelő oldaluk arányos:

Ily módon a magasság h_c amely megfelel a szegmens CD-nek, megfelel az AB = c hypotenuse-nek, így:

Ez viszont megfelel:

A hypotenuse törlése (h_c) a két egyenlőség tagjának szaporítása érdekében:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Így a hypotenuse értékét az alábbiak adják:

A lábak elmélete

Ez a tétel azt állítja, hogy bármelyik jobb háromszögben az egyes lábak mérete a geometriai arányos átlag (az egyes lábak négyzete) a hypotenuse (teljes) mérése és mindegyikének vetülete között:

b² = c _* m

hogy² = c_* n

mutat

Az ABC háromszög, amely a C csúcs egy téglalapja, úgy, hogy hipoteneiója c, amikor a magasságot (h) ábrázoljuk, az a és b lábak vetületeit, amelyek az m és n szegmensek, határozzuk meg. a hypotenuse.

Így van, hogy az ABC jobb háromszögre húzott magasság két hasonló, jobb oldali háromszöget, az ADC-t és a BCD-t generálja, így a megfelelő oldalak arányosak:

DB = n, amely a CB lábának vetülete a hypotenuse-n.

AD = m, amely a cathetus AC vetülete a hypotenuse-ra.

Ezután a c hypotenuse-t a vetületeinek lábainak összege határozza meg:

c = m + n

Az ADC és a BCD háromszögek hasonlósága miatt:

A fentiek megegyeznek a következőkkel:

Az "a" láb törlésével a két egyenlőség tagjának szaporodásához:

hogy _* a = c _* n

hogy² = c _* n

Így az "a" láb értékét a következőképpen adjuk meg:

Hasonlóképpen, az ACB és az ADC háromszögek hasonlósága miatt:

A fenti érték egyenlő:

A "b" láb törlésével a két egyenlőség tagjának szaporodásához:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Így a "b" láb értékét a következőképpen adjuk meg:

Az Euklideszi tételek közötti kapcsolat

A magasságra és a lábakra vonatkozó tételek egymáshoz kapcsolódnak, mert mindkettő mértéke a jobb háromszög hypotenuse-jére vonatkozik..

Az Euklideszi elméleti viszony révén a magasság értéke is megtalálható; ez lehetséges az m és n értékek törlésével a lábtételből, és a magasság tételben kerülnek kicserélésre. Ily módon a magasság megegyezik a lábak szorzásával, osztva a hipotenusszal:

b² = c _* m

m = b² ÷ c

hogy² = c _* n

n = a² ÷ c

A magassági tételben m és n kerülnek kicserélésre:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (a² ÷ c)

h_c = (b²_* hogy²) ÷ c

Megoldott gyakorlatok

1. példa

Az ABC háromszög, az A téglalap alapján határozza meg az AC és AD mérését, ha AB = 30 cm és BD = 18 cm

megoldás

Ebben az esetben a vetített lábak (BD) egyikét és az eredeti háromszög (AB) egyik lábát mérjük. Így alkalmazhatja a lábtételt, hogy megtalálja a BC láb értékét.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

A CD katétus értéke megtalálható tudva, hogy BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Most meg lehet határozni az AC AC értékét, ismét alkalmazva a lábtételt:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = 1600 = 40 cm

A magasság (AD) értékének meghatározásához a magassági tételt alkalmazzuk, mivel a CD és BD kivetített lábak értékei ismertek:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

2. példa

Határozza meg az NN háromszög magasságának (h) értékét N-ben, tudva a szegmensek méréseit:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

megoldás

A hipotenuszon (PM) vetített egyik láb, valamint az eredeti háromszög lábainak mérése van. Ily módon a lábelmélet alkalmazható a másik vetített láb (LN) értékének megtalálására:

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Ahogy már ismerjük a lábak és a hipotenus értékét, a magasság és a lábak tételeinek viszonya alapján meghatározható a magasság értéke:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* hogy²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referenciák

1. Braun, E. (2011). Káosz, fraktálok és furcsa dolgok. Gazdasági Kulturális Alap.
2. Cabrera, V. M. (1974). Modern matematika, 3. kötet.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. év matematika Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Spanyol enciklopédia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, R. P. (1886). Euklideszi geometriai elemei.
6. Guardeño, A. J. (2000). A matematika öröksége: Euklidesztől Newtonig, a zseniális könyvekkel. Sevillai Egyetem.