Moivre elmélete a bemutató és megoldott gyakorlatokról

az Moivre-tétel az algebra alapvető folyamatait alkalmazza, mint például a hatáskörök és a gyökerek összetett számokban történő kitermelése. A tételt a neves francia matematikus, Abraham de Moivre (1730) írta fel, aki komplex számokat társított trigonometriával.

Ábrahám Moivre ezt a szövetséget a mell és a kozin kifejezései révén tette. Ez a matematikus olyan képletet hozott létre, amelyen keresztül egy z komplex számot emelhetünk az n teljesítményre, amely pozitív vagy egész 1-nél nagyobb egész szám..

index

• 1 Mi a Moivre-tétel??
• 2 Bemutatás
  • 2.1 Induktív alap
  • 2.2 Induktív hipotézis
  • 2.3 Ellenőrzés
  • 2.4 Negatív egész szám
• 3 A gyakorlatok megoldása
  • 3.1 A pozitív hatások kiszámítása
  • 3.2 A negatív hatások kiszámítása
• 4 Referenciák

Mi a Moivre-tétel??

A Moivre tétele az alábbiakat tartalmazza:

Ha van egy komplex száma a poláris formában z = r_ɵ, ahol r a z komplex szám modulja, és a Ɵ szöget bármelyik komplex szám amplitúdójának vagy argumentumának nevezzük 0 ≤ Ɵ ≤ 2π értékkel, n-edik erejének kiszámításához önmagában n-szer nem kell szorozni; vagyis nem szükséges a következő terméket készíteni:

Zⁿ = z _* Z _* Z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_ɵ   n-szer.

Éppen ellenkezőleg, a tétel azt mondja, hogy ha z-t trigonometrikus formában ír le, az n-es teljesítmény kiszámításához az alábbiak szerint járunk el:

Ha z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), majd zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Például, ha n = 2, akkor z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Ha n = 3, akkor z³ = z² _* z. Ezen kívül:

Z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Ily módon a szinusz és a kosinusz trigonometrikus arányai szög többszöröseihez érhetők el, amennyiben a szög trigonometrikus arányai ismertek..

Hasonlóképpen használható egy pontosabb és kevésbé zavaró kifejezések megtalálására a z szám egy n gyökéréhez, így zⁿ = 1.

A Moivre tétele bemutatásához a matematikai indukció elve alkalmazandó: ha egy „a” egész szám rendelkezik „P” tulajdonsággal, és ha az „n” -nél nagyobb egész számnál nagyobb a „P” tulajdonság, kielégíti azt, hogy az n + 1 is rendelkezik a "P" tulajdonsággal, majd az "a" -val megegyező vagy annál nagyobb egész számok "P" tulajdonsággal rendelkeznek..

mutat

Ily módon a tétel igazolása a következő lépésekkel történik:

Induktív alap

Az n = 1 első ellenőrzése.

Mint z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], n = 1 esetén a tétel teljesül.

Induktív hipotézis

Feltételezzük, hogy a képlet pozitív pozitív egész számra, azaz n = k.

Z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

tesztelés

Az n = k + 1 esetében igaznak bizonyult.

Mint z^{k + 1}= z^k _* z, majd z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Ezután a kifejezések szaporodnak:

Z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Egy pillanatra az r faktor figyelmen kívül marad^{k + 1},  és az i közös tényezőt eltávolítjuk:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Hogyan i² = -1, helyettesítjük a kifejezésben, és:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Most az igazi és a képzeletbeli rész megrendelésre kerül:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

A kifejezés egyszerűsítése érdekében a kozin és a szinusz szögek trigonometrikus azonosságait alkalmazzuk, amelyek:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Ebben az esetben a változók a Ɵ és kƟ szögek. A trigonometrikus identitások alkalmazásával:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Ily módon a kifejezés megmarad:

Z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

Z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Így kimutatható, hogy az eredmény igaz n = k + 1 esetén. A matematikai indukció elve alapján megállapítható, hogy az eredmény minden pozitív egész számra igaz; azaz n ≥ 1.

Teljesen negatív

A Moivre tételét akkor is alkalmazzuk, ha n <0. Figyeljünk egy negatív egész számra "n"; akkor "n" írható "-m" -ként, azaz n = -m, ahol "m" pozitív egész szám. ezért:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Az "m" exponens pozitív megszerzéséhez a kifejezés fordítva fordul elő:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos m + + _* sen mƟ)

Most azt használjuk, hogy ha z = a + b * i egy komplex szám, akkor 1 ÷ z = a-b * i. ezért:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

A cos (x) = cos (-x) és a -sen (x) = sin (-x) használatával:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Ily módon elmondhatjuk, hogy a tétel az "n" összes egész értékére vonatkozik..

Megoldott gyakorlatok

A pozitív hatások kiszámítása

A poláris formájú komplex számokkal végzett műveletek közül az egyik a kettő közötti szorzás; ebben az esetben a modulokat megszorozzuk és az érveket hozzáadjuk.

Ha két összetett számod van z₁ és z₂ és ki szeretné számolni (z₁* z₂)², Ezután a következőképpen járunk el:

Z₁Z₂ = [r₁ (cos Ɵ.)₁ + én _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ.)₂ + én _* sen Ɵ₂)]

A forgalmazási tulajdonságot alkalmazzák:

Z₁Z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ.)_{1 *} cos Ɵ₂ + én _* cos Ɵ_{1 *} én _* sen Ɵ₂ + én _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + én²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Ezek csoportosítva vannak, az „i” kifejezést pedig a kifejezések közös tényezőjeként:

Z₁Z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Hogyan i² = -1, helyébe a következő kifejezés lép:

Z₁Z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

A valódi kifejezéseket valós és képzeletbeli képpel csoportosítják:

Z₁Z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Végül a trigonometrikus tulajdonságokat alkalmazzuk:

Z₁Z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)].

Összegezve:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + ɵ₂)].

1. gyakorlat

Írja be a komplex számot poláris formában, ha z = - 2 -2i. Ezután a Moivre tétele alapján számítsuk ki az z értéket⁴.

megoldás

A z = -2 -2i komplex számot z = a + bi téglalap formában fejezzük ki, ahol:

a = -2.

b = -2.

Tudva, hogy a poláris forma z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), meg kell határoznia az "r" modul értékét és az "Ɵ" argumentum értékét. Mivel r = √ (a² + b²), az adott értékeket helyettesítik:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Ezután az "Ɵ" értékének meghatározásához ennek négyszögletes formáját alkalmazzuk, amelyet a következő képlet ad meg:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

A tan (Ɵ) = 1 és meg kell<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5/4.

Mivel az "r" és "Ɵ" értékek már elérkeztek, a z = -2 -2i komplex szám poláris formában fejezhető ki az értékek helyettesítésével:

z = 2√2 (cos (5/4) + i _* sen (5Π / 4)).

Most a Moivre tételt használjuk az z kiszámításához⁴:

Z⁴= 2√2 (cos (5/4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5) + i _* sen (5Π)).

2. gyakorlat

Keresse meg a komplex számok termékét poláris formában kifejezve:

z1 = 4 (cos 50^vagy + én_* 50 szen^vagy)

z2 = 7 (cos 100^vagy + én_* 100 szen^vagy).

Ezután számítsuk ki (z1 * z2) ².

megoldás

Először a megadott számok terméke jön létre:

Z₁ Z₂ = [4 (cos 50^vagy + én_* 50 szen^vagy)] * [7 (cos 100^vagy + én_* 100 szen^vagy)]

Ezután szorozza meg a modulokat együtt, és adja hozzá az argumentumokat:

Z₁ Z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^vagy + 100^vagy) + i_* sen (50^vagy + 100^vagy)]

A kifejezés egyszerűbb:

Z₁ Z₂ = 28 _* (cos 150^vagy + (i_* 150 szen^vagy).

Végül a Moivre-tételt alkalmazzuk:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^vagy + (i_* 150 szen^vagy)) ² = 784 (cos 300)^vagy + (i_* 300 szen^vagy)).

A negatív hatások kiszámítása

Két összetett szám megosztása z₁ és z₂ poláris formában a modul meg van osztva, és az érvek kivonásra kerülnek. Így a hányados z₁ ÷ z₂ és ez a következőképpen van kifejezve:

Z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - ɵ₂)]).

Az előző esethez hasonlóan, ha először (z1 ÷ z2) ³ kiszámítani akarjuk, akkor az osztás megtörténik, majd a Moivre tételt használjuk.

3. gyakorlat

adott:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

számítsuk ki (z1 ÷ z2) ³.

megoldás

A fent leírt lépéseket követve megállapítható, hogy:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referenciák

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
2. Croucher, M. (s.f.). A Moivre Trig-identitásokról szóló elméletéből. Wolfram bemutató projekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematika enciklopédia.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra és trigonometria.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson oktatás.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineáris algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson oktatás.