Részvény:
Thales of Miletus első, második és példamutatója
Az első és a második Thales of Miletus elmélete alapulnak a hasonló háromszögek (első tétel) vagy a kerület (második tétel) meghatározásán. Nagyon hasznosak voltak különböző területeken. Például az első tétel nagyon hasznosnak bizonyult nagy struktúrák mérésére, amikor nem volt kifinomult mérőműszer.
Thales of Miletus egy görög matematikus volt, aki nagyszerűen hozzájárult a geometriához, amelyből a két tétel kiemelkedik (egyes szövegekben Thales-nek is írják) és hasznos alkalmazásokat. Ezeket az eredményeket a történelem során használták, és lehetővé tették a különböző geometriai problémák megoldását.
index
- 1 A mesék első elmélete
- 1.1 Alkalmazás
- 1.2 Példák
- 2 A mesék második tétele
- 2.1 Alkalmazás
- 2.2 Példa
- 3 Referenciák
A Tales első tétele
A Tales első tétele nagyon hasznos eszköz, amely többek között lehetővé teszi a korábban ismert, egy másikhoz hasonló háromszög építését. Innen különféle változatokat hozhatunk létre a tételből, amelyeket több kontextusban lehet alkalmazni.
A nyilatkozat megadása előtt emlékezzen a háromszögek hasonlóságának néhány fogalmára. Lényegében két háromszög hasonló, ha szögük összeegyeztethető (ugyanaz a mérete van). Ez azt eredményezi, hogy ha két háromszög hasonló, a megfelelő oldaluk (vagy homológjuk) arányos.
Thales első tétele azt állítja, hogy ha egy adott háromszögben egy egyenes vonal van párhuzamosan bármelyik oldalával, az új háromszög hasonló lesz a kezdeti háromszöghez.
A következő ábrán látható módon a kialakult szögek között is kapcsolat van.
kérelem
Több alkalmazásai közül kiemelkedik az egyik különös érdeklődés, és az egyik módja annak, hogy a korabeli nagy struktúrák méréseit végezték el, amikor Thales élt, és amelyben a modern mérőeszközök nem állnak rendelkezésre. már léteznek.
Azt mondják, hogy Thales-nek sikerült mérnie a legmagasabb piramisot Egyiptomban, Cheopsban. Ehhez Thales azt feltételezte, hogy a napsugarak visszaverődése megérintette a párhuzamos vonalakat. Ebből a feltevésből függőlegesen befogott egy rudat vagy cukornádot a földbe.
Ezután a két eredő háromszög hasonlóságát használta, melyet a piramis árnyékának hosszúsága (amely könnyen kiszámítható) és a piramis (ismeretlen) magassága, a másik pedig az árnyék hossza határozza meg. és a rúd magassága (amely szintén könnyen kiszámítható).
A hosszúságok közötti arányosságot felhasználva tisztíthatja és ismeri a piramis magasságát.
Bár ez a mérési módszer jelentős hibalehetőséget adhat a magasság pontosságához képest, és a napsugarak párhuzamosságától függ (ami viszont pontos időtől függ), fel kell ismernünk, hogy ez egy nagyon ötletes ötlet és ez egy jó mérési alternatívát jelentett az idő számára.
Példák
Minden esetben keresse meg az x értéket:
megoldás
Itt két vonallal két párhuzamos vonal van vágva. Thales első tétele szerint az egyik oldaluk arányos. Különösen:
megoldás
Itt két háromszögünk van, amelyek közül az egyik a másik oldalával párhuzamos szegmensből áll (pontosan az x hosszúság oldala). A mesék első tételével:
A mesék második tétele
A Thales második tétele határozza meg a jobb oldali háromszöget, amely az adott pont minden pontján kerül átmérőre.
A kerületre írt háromszög olyan háromszög, amelynek csúcsa a kerületen van, és így van benne.
Pontosabban, a Thales második tétele az alábbiakat adja meg: a középső O és az AC átmérőjű kört tekintve, a kerület mindegyik B pontja (az A és C kivételével) meghatározza az ABC jobb háromszöget, jobb szöggel Indoklásként vegye figyelembe, hogy mind az OA, mind az OB és az OC megfelel a kerület sugarának; ezért mérésük megegyezik. Innen az OAB és az OCB háromszögek egyenlő szárúak, ahol Ismert, hogy a háromszög szögének összege 180 °. Az ABC háromszög használatával: 2b + 2a = 180 °. Ehhez hasonlóan b + a = 90º és b + a = Megjegyezzük, hogy a Thales második tétel által biztosított jobb háromszög pontosan az, amelynek a hypotenuse értéke megegyezik a kerület átmérőjével. Ezért teljesen meghatározza a háromszög pontjait tartalmazó félkör; ebben az esetben a felső félkör. Megjegyezzük továbbá, hogy a Thales második tételével kapott jobb háromszögben a hypotenuse két egyenlő részre oszlik OA és OC (a sugár). Ez az intézkedés viszont megegyezik az OB szegmens (szintén a sugár) szegmensével, amely megfelel az ABC háromszög mediánjának B. Más szavakkal, az ABC jobb oldali háromszög mediánjának hossza a B csúcsnak megfelelően határozza meg a hipotenus fele. Emlékezzünk vissza, hogy a háromszög mediánja a szegmens az egyik csúcstól az ellenkező oldal középpontjáig; ebben az esetben a BO szegmens. Egy másik módja annak, hogy a Thales második tételét egy jobb háromszögre korlátozza. Általában a sokszög köré írt kör az egyes csúcsokon áthaladó kerületből áll, amikor bármikor lehetséges nyomon követni. A Thales második tételét használva, egy jobb háromszöget adva, mindig ehhez egy körkörös körvonalat építhetünk, amelynek sugara megegyezik a hypotenuse felével és a kerület középpontjával (a kerület középpontjával) egyenlő a hypotenuse középpontjával.. A Tales második tételének nagyon fontos alkalmazása, és talán a leggyakrabban használt, hogy egy adott kerülethez tartozó érintővonalakat, egy erre vonatkozó P ponttal (ismert) találjunk.. Figyeljük meg, hogy a kerület mentén (az alábbi ábrán kék színben) és egy P külső felületen két vonal van érintve a P.-n áthaladó kerületre. T és T 'a tangenciális pontok, r a kerület sugara és Vagy a központ. Ismeretes, hogy a kör középpontjától a tangenciális pontig terjedő szegmens merőleges erre az érintővonalra. Ezután az OTP szög egyenes. A Thales első tételében és annak különböző verzióiban korábban láttuk, hogy az OTP háromszöget egy másik kerületben (piros) lehet beírni. Hasonló módon kapjuk meg, hogy az OT'P háromszög ugyanazon előző kerületen belül írható be. A Thales második tételével azt is megállapítjuk, hogy az új kerület átmérője pontosan az OTP háromszög hipotenzusa (ami megegyezik az OT'P háromszög hipotenúziójával), és a középpont a hipotenusz középpontja.. Az új kerület középpontjának kiszámításához elegendő a középpont - azaz M - a középső pont számítása a kezdeti kerület (amelyről már tudjuk) és a P pont (amit szintén tudunk). Ezután a sugár az M és P pont közötti távolság lesz. A piros kör sugarával és közepével találkozhatunk a derékszögű egyenletével, melyet (x-h) ad meg.2 + (Y-k)2 = c2, ahol c a sugár és a pont (h, k) a kör középpontja. Ismerve mindkét kerület egyenletét, meg tudjuk metszeni őket az általuk kialakított egyenletrendszer megoldásával, és így megszerzi a T és T 'érintési pontokat. Végül, hogy megismerjük a kívánt érintővonalakat, elegendő a T és P, valamint a T 'és P közötti egyenesek egyenlete.. Tekintsük át az AC átmérőjét, az O középső és az 1 cm sugarú köröket. Legyen B a kerület olyan pontja, hogy AB = AC. Mennyibe kerül az AB? Thales második tételével azt állítjuk, hogy az ABC háromszög egy téglalap, és a hipotenézis megfelel az átmérőnek, amely ebben az esetben 2 cm-es (a sugár 1 cm). Ezután a Pythagorean-tétel szerint:
Körülvágás
kérelem
példa
megoldás
referenciák