Varignon elméleti példái és megoldott gyakorlatok



az Varignon-tétel megállapítja, hogy ha bármelyik négyszögben bármelyik pont folyamatosan csatlakozik az oldalakhoz, akkor párhuzamos program kerül létrehozásra. Ezt a tételt Pierre Varignon fogalmazta meg, és 1731-ben jelentette meg a könyvben A matematika elemei".

A könyv közzététele évek után történt halála után. Mivel Varignon volt az, aki bemutatta ezt a tételt, a párhuzamosságot nevezték el. A tétel az euklideszi geometrián alapul, és a négyszögek geometriai kapcsolatait mutatja be.

index

  • 1 Mi a Varignon-tétel??
  • 2 Példák
    • 2.1 Az első példa
    • 2.2 Második példa
  • 3 A gyakorlatok megoldása
    • 3.1 1. gyakorlat
    • 3.2 2. gyakorlat
    • 3.3 3. gyakorlat
  • 4 Referenciák

Mi a Varignon-tétel??

Varignon azt állította, hogy a négyszög középpontja által meghatározott szám mindig egy párhuzamosságot eredményez, és ennek területe mindig a négyszög területének a fele, ha lapos és konvex. Például:

Az ábrán egy négyszöget láthatunk X-el, ahol az oldalak középpontjait E, F, G és H képviseli, és amikor csatlakoznak, egy párhuzamosságot alkotnak. A négyszög területe a képződő háromszögek területeinek összege, és ennek a fele megfelel a párhuzamosság területének..

Mivel a paralelogramma területe a négyszög területének fele, a párhuzamosság kerülete meghatározható.

Így a kerület egyenlő a négyszög átlóinak hossza összegével; ez azért van, mert a négyszög mediánja a párhuzamos program átlója lesz.

Másrészről, ha a négyszög átlóinak hossza pontosan megegyezik, a párhuzamosság gyémánt lesz. Például:

Az ábrából látható, hogy a négyszög oldalainak középpontjainak összekapcsolásával rombusz jön létre. Másrészről, ha a négyszög átlói merőlegesek, a párhuzamosság egy téglalap lesz..

A paralelogramma szintén négyzet lesz, amikor a négyszög az azonos hosszúságú átlóval rendelkezik, és merőleges is lehet..

A tétel nemcsak sík négyszögekben teljesül, hanem térbeli geometriában vagy nagy méretekben is megvalósítható; azaz azokban a négyszögekben, amelyek nem konvexek. Erre példa lehet egy oktaéder, ahol a középpontok az egyes arcok középpontjai, és párhuzamosan alakulnak.

Ily módon a különböző ábrák középpontjainak összekapcsolásával párhuzamosan állíthatunk be párhuzamosságot. Egyszerű módja annak igazolására, hogy ez valóban igaz-e, hogy az ellenkező oldalaknak párhuzamosnak kell lenniük, ha hosszabbítják őket.

Példák

Első példa

Az ellenkező oldalak meghosszabbítása annak igazolására, hogy ez párhuzamos:

Második példa

Egy gyémánt középpontjához való csatlakozással egy téglalapot kapunk:

A tételt a négyszög oldalainak közepén elhelyezkedő pontok összekapcsolásában használják, és más típusú pontokhoz is használhatók, mint például egy háromszög, penta-szakasz vagy akár végtelen számú szekció ( nth), annak érdekében, hogy bármely négyszög oldalát arányos szegmensekre lehessen osztani.

Megoldott gyakorlatok

1. gyakorlat

Az ábrán a Z terület négyszögletes ABCD-je van, ahol az oldalak középpontjai PQSR. Ellenőrizze, hogy párhuzamos-e a Varignon.

megoldás

Igazolható, hogy a PQSR pontokhoz való csatlakozáskor Varignon párhuzamossága alakul ki, pontosan azért, mert a kijelentésben egy négyszög középpontjai vannak megadva.

Ennek bizonyításához a PQSR középpontjait egyesítik, így látható, hogy egy másik négyszög alakul ki. Hogy megmutassuk, hogy ez párhuzamos, csak egyenes vonalat kell rajzolni a C ponttól az A pontig, így láthatja, hogy a CA párhuzamos a PQ és RS.

Hasonlóképpen, a PQRS oldalak kiterjesztésével megjegyezhető, hogy a PQ és RS párhuzamosak, amint az a következő képen látható:

2. gyakorlat

Egy olyan téglalap van, amely minden oldalának hossza egyenlő. Ezen oldalak középpontjainak összekapcsolásakor egy rombusz ABCD jön létre, amelyet két AC = 7cm és BD = 10cm átló oszt meg, amely egybeesik a téglalap oldalainak mérésével. Határozza meg a gyémánt és a téglalap területét.

megoldás

Emlékeztetve arra, hogy az eredményül kapott párhuzamos programfelület területe a négyszög felét jelenti, meghatározhatja ezeknek a területeknek a területét, tudva, hogy a diagonálok mérete egybeesik a téglalap oldalával. Szóval:

AB = D

CD = d

Atéglalap = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Arombusz = A téglalap / 2

Arombusz = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

3. gyakorlat

Az ábrán egy négyszög van, amely az EFGH pontjaival rendelkezik, a szegmensek hossza megadva. Határozza meg, hogy az EFGH kötése párhuzamos.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

megoldás

A szegmensek hosszát tekintve ellenőrizhető, hogy arányos-e a szegmensek között; vagyis tudjuk, hogy ezek párhuzamosak-e, a négyszög szegmenseit a következő módon kapcsolva:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Ezután ellenőrzik az arányosságot, mivel:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Hasonlóképpen, amikor a B ponttól a D pontig egy vonalat rajzolunk, láthatjuk, hogy az EH a BD-vel párhuzamos, ahogy a BD párhuzamos az FG-vel. Másrészt az EF párhuzamos a GH-val.

Ily módon megállapítható, hogy az EFGH párhuzamos, mert az ellenkező oldalak párhuzamosak.

referenciák

  1. Andres, T. (2010). Tresure matematikai olimpia. ugró. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Lapos euklideszi geometria. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Geometriák vizsgálata. Mexikó: spanyol - amerikai.
  4. Ramo, G. P. (1998). Ismeretlen megoldások a Fermat-Torricelli problémáira. ISBN - Független munka.
  5. Vera, F. (1943). A geometria elemei. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Néhány kaland az euklideszi geometriában. Dél-Afrika.