Binomiális elméleti demonstráció és példák

az binomiális tétel egy olyan egyenlet, amely elmondja nekünk, hogyan fejleszthetjük ki az űrlap kifejezését (a + b)ⁿ n természetes szám esetén. A binomiális érték nem több, mint két elem összege, mint például az (a + b). Azt is lehetővé teszi számunkra, hogy tudjuk, hogy az a^kb^n-k mi az együttható, ami vele jár.

Ezt a tételt általában az angol feltaláló, fizikus és matematikus Sir Isaac Newton tulajdonítja; azonban több feljegyzést találtak, amelyek arra utalnak, hogy a Közel-Keleten már létezik az 1000 év körül létezése.

index

• 1 kombinatorikus szám
• 2 Bemutatás
• 3 Példák
  • 3.1 Identitás 1
  • 3.2 Identitás 2
• 4 Egy másik demonstráció
  • 4.1 Bemutatás indukcióval
• 5 Érdekességek
• 6 Referenciák

Kombinatorikus számok

A binomiális elmélet matematikailag elmondja a következőket:

Ebben a kifejezésben a és b valós számok és n természetes szám.

Mielőtt bemutatnánk a bemutatót, nézzünk meg néhány alapvető fogalmat.

Az n in k kombinatorikus számát vagy kombinációit a következőképpen fejezzük ki:

Ez az űrlap azt az értéket fejezi ki, amennyit k elemekkel rendelkező alcsoportok közül választhatunk n elemcsoportból. Algebrai kifejezését a következőképpen adjuk meg:

Lássunk egy példát: tegyük fel, hogy van egy hét golyócsoportunk, amelyek közül kettő piros és a többi kék.

Tudni akarjuk, hogy hányféleképpen rendelhetjük őket egymás után. Az egyik mód az lehet, hogy a két vöröset az első és a második pozícióba helyezzük, a többi golyót pedig a többi pozícióba.

Az előző esethez hasonlóan a piros golyókat is az első és az utolsó pozícióba adhattuk, és a többieket kék golyókkal foglalhatjuk el.

A kombinatorikus számok felhasználásával most hatékony módja annak, hogy számíthatunk, hogy hányféleképpen rendelhetjük meg a labdákat egy sorban. Minden egyes pozíciót a következő készlet elemeként láthatunk:

Ezután csak két elem egy részhalmazát kell kiválasztani, amelyben mindegyik elem a piros golyók elfoglalt helyét jelöli. Ezt a választást a következők alapján adhatjuk meg:

Ily módon 21 olyan módon lehet rendezni az ilyen golyókat.

A példa általános elképzelése nagyon hasznos lesz a binomiális tétel bemutatásában. Nézzük meg egy adott esetet: ha n = 4, van (a + b)⁴, ami nem más, mint:

A termék kifejlesztésénél a négy tényező egy elemének (a + b) megszorzásával kapott feltételek összege van. Így olyan kifejezéseket kapunk, amelyek a következő formában lesznek:

Ha szeretnénk megkapni a formanyomtatványt⁴, csak szaporodjon a következő módon:

Ne feledje, hogy csak egy módja van ennek az elemnek a beszerzésére; de mi történik, ha most megkeressük az űrlapot²b²? Mivel az "a" és "b" valós számok, és ezért a kommutatív jog érvényes, lehetőségünk van arra, hogy ezt a kifejezést megszerezzük, hogy szaporodjunk a tagokkal a nyilak szerint.

Mindezen műveletek végrehajtása általában kissé unalmas, de ha az "a" kifejezést olyan kombinációként látjuk, ahol tudni akarjuk, hogy hányféleképpen választhatunk két "a" -t négy tényezőből, akkor használhatjuk az előző példát. Tehát a következő:

Tehát tudjuk, hogy a kifejezés végső fejlesztésében (a + b)⁴ pontosan 6a lesz²b². Ugyanezen ötletet használva a többi elemre:

Ezután hozzáadjuk a korábban kapott kifejezéseket, és:

Ez az általános eset, amikor az "n" természetes szám.

mutat

Ne feledje, hogy a kifejezések (a + b) fejlesztésekor fennmaradó feltételekⁿ formában vannak^kb^n-k, ahol k = 0,1, ..., n. Az előző példában szereplő ötlet felhasználásával lehetőségünk van arra, hogy az "n" tényezők közül "k" változókat válasszunk:

Ilyen módon kiválasztva automatikusan kiválasztjuk az "n" k változókat. Ebből következik, hogy:

Példák

Figyelembe véve (a + b)⁵, Mi lenne a fejlődés?

A binomiális tétel szerint:

A binomiális tétel nagyon hasznos, ha olyan kifejezést kapunk, amelyben azt szeretnénk tudni, hogy egy adott kifejezés együtthatója anélkül szükséges, hogy a teljes fejlődést végre kell hajtania. Például a következő kérdést tehetjük meg: mi az x együtthatója⁷és⁹ (x + y) fejlesztésében¹⁶?

A binomiális tétel szerint az együttható:

Egy másik példa lenne: mi az x együtthatója⁵és⁸ (3x-7y) fejlesztésében¹³?

Először kényelmesen írjuk át a kifejezést; ez:

Ezután a binomiális tétel segítségével a kívánt együttható akkor van, amikor k = 5

Egy másik példa ennek a tételnek a használatára néhány közös identitás bemutatására, mint például az alábbiakban említettek.

Identitás 1

Ha az "n" természetes szám, akkor:

A bemutatáshoz a binomiális tételt használjuk, ahol mind az "a", mind a "b" értéke 1.

Ily módon bizonyítottuk az első identitást.

Identitás 2

Ha az "n" természetes szám, akkor

A binomiális tétel szerint:

Egy másik demonstráció

Az induktív módszerrel és a pascal identitással a binomiális tételhez különböző demonstrációt készíthetünk, amely azt mondja, hogy ha az "n" és "k" pozitív egész számok, amelyek n ≥ k, akkor:

Bemutatás indukcióval

Először nézzük meg, hogy az induktív bázis teljesül. Ha n = 1, akkor:

Valóban, látjuk, hogy teljesül. Most hagyjuk, hogy n = j teljesüljön:

Azt szeretnénk látni, hogy n = j + 1 esetében teljesül, hogy:

Tehát:

Hipotézis alapján tudjuk, hogy:

Ezután a terjesztési tulajdonságot használva:

Ezt követően minden egyes összegzés kidolgozása során:

Most, ha kényelmes módon csoportosítjuk, meg kell:

A pascal személyazonosságának felhasználásával:

Végül, vegye figyelembe, hogy:

Ezért látjuk, hogy a binomiális tétel teljesül minden természetes számhoz tartozó "n" -nél, és ezzel a teszt véget ér.

érdekességek

A kombinatorikus számot (nk) binomiális együtthatónak is nevezzük, mert pontosan az a tényező, amely a binomiális (a + b) fejlesztésében jelenik meg.ⁿ.

Isaac Newton általánosította ezt a tételt azon esetre, amikor az exponens egy valós szám; ez a tétel Newton binomiális tétele.

Már az ókorban ez az eredmény az adott esetről ismert, ahol n = 2. Ez az eset a elemek Euklidesek.

referenciák

1. Johnsonbaugh Richard. Diszkrét matematika PHH
2. Kenneth.H. Rosen, diszkrét matematika és alkalmazásai. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diszkrét matematika. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diszkrét és kombinált matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diszkrét matematika és kombinatoria