Egyenlő háromszög jellemzők, tulajdonságok, képletek és terület



egy egyenlő oldalú háromszög ez egy háromszögű sokszög, ahol mindegyik egyenlő; azaz ugyanaz az intézkedés. Ennek a jellemzőnek a neve egyenlő oldalú neve volt (egyenlő oldalak).

A háromszögek sokszögek, amelyek a legegyszerűbbek a geometriában, mivel három oldalt, három szöget és három csúcsot alkotnak. Az egyenlő oldalú háromszög esetében az egyenlő oldalakkal együtt a három szöge is.

index

  • 1 Az egyenlő oldalú háromszögek jellemzői
    • 1.1 Egyenlő oldalak
    • 1.2 Összetevők
  • 2 Tulajdonságok
    • 2.1 Belső szögek
    • 2.2 Külső szögek
    • 2.3 Az oldalak összege
    • 2.4
    • 2.5 Konfruens szögek
    • 2.6 A bisector, a medián és a mediatrix egybeesik
    • 2.7 A bisector és a magasság egybeesik
    • 2.8 Az Orthocenter, a barycenter, a incenter és a circumcenter egybeesik
  • 3 Hogyan kell kiszámítani a kerületet?
  • 4 A magasság kiszámítása?
  • 5 Az oldalak kiszámítása?
  • 6 A terület kiszámítása?
  • 7 Gyakorlatok
    • 7.1 Első gyakorlat
    • 7.2 Második gyakorlat
    • 7.3 Harmadik gyakorlat
  • 8 Hivatkozások

Az egyenlő oldalú háromszögek jellemzői

Egyenlő oldalak

Az egyenlő oldalú háromszögek lapos és zárt alakzatok, amelyek egyenes vonalak három szegmenséből állnak. A háromszögeket jellemzőik szerint osztályozzák oldalukhoz és szögeikhez viszonyítva; az egyenlőtestet oldalainak mérésével, paraméterként osztályozták, mivel ezek pontosan ugyanazok, azaz kongruensek.

Az egyenlő oldalú háromszög az egyenlőszárú háromszög sajátos esete, mert két oldala egybevágó. Ezért minden egyenlő oldalú háromszög is egyenlő, de nem minden egyenlőszárú háromszög egyenlő oldalú.

Ily módon az egyenlő oldalú háromszögek egy egyenlőszárú háromszög azonos tulajdonságai.

Az egyenlő oldalú háromszögeket a belső szögek amplitúdója szerint is egyenlő oldalú szögletes háromszögként lehet besorolni, amelynek három oldala és három belső szöge van ugyanazon méréssel. A szögek élesek lesznek, vagyis 90-nél kisebbek lesznekvagy.

alkatrészek

A háromszögek általában több sort és pontot alkotnak. Ezek a területek, oldalak, szögek, medián, bisector, merőleges és magasság kiszámításához használatosak.

  • A medián: egy vonal, amely az egyik oldal középpontjától elhagyja az ellenkező csúcsot. A három medián megegyezik a centroid vagy centroid nevű pontban.
  • A bisector: olyan sugár, amely a csúcsok szögét két egyenlő méretű szögre osztja, ezért a szimmetria tengelyeként ismert. Az egyenlő oldalú háromszögnek három szimmetriatengelye van.

Az egyenlő oldalú háromszögben a bisektort a szög csúcsától a másik oldalához viszik, és középpontjában levágják. Ezek a pontok az úgynevezett stimro.

  • A mediatrix: egy olyan szegmens, amely merőleges a háromszög oldalára, amely ennek középpontjában van. A háromszög három mediátuma van, és egy pontban úgynevezett circuncentro.
  • A magasság: az a vonal, amely a csúcsról az ellenkező oldalra, és ez a vonal is merőleges erre az oldalra. Minden háromszögnek három magassága van, amelyek egybeesnek az orthocenter nevű ponton.

tulajdonságok

Az egyenlő oldalú háromszögek fő tulajdonsága, hogy mindig egyenlőszárú háromszögek lesznek, mivel az egyenlőszárúakat két egymásba illő oldal és a háromoldalú egyoldalúak alkotják..

Ily módon az egyenlő oldalú háromszögek az egyenlőszárú háromszög összes tulajdonságát örökölték:

Belső szögek

A belső szögek összege mindig 180vagy, és mivel minden szöge összeegyeztethető, akkor mindegyik 60-at fog mérnivagy.

Külső szögek

A külső szögek összege mindig megegyezik a 360-as értékkelvagy, ezért minden külső szög 120-at fog mérnivagy. Ez azért van, mert a belső és külső szögek kiegészítőek, vagyis a hozzáadásuk mindig 180 leszvagy.

Az oldalak összege

A két oldal méréseinek összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal mérete, azaz a + b> c, ahol az a, b és c az egyes oldalak mérése..

Congruent oldalak

Az egyenlő oldalú háromszögek három oldala azonos méretű vagy hosszúságú; vagyis azok egybeesnek. Ezért az előző tételben a = b = c.

Kongruens szögek

Az egyenlő oldalú háromszögek szintén egyenlő háromszögekként ismertek, mivel három belső szöge összeegyeztethető egymással. Ez azért van, mert minden oldalának is ugyanaz az intézkedése van.

A bisector, a medián és a mediatrix egybeesik

A bisector osztja a háromszög oldalát két részre. Az egyenlő oldalú háromszögekben az oldal két pontosan egyenlő részre lesz osztva, azaz a háromszög két egymásba illeszkedő jobb háromszögre oszlik.

Így az egyenlő oldalú háromszög bármely szögéből húzódó bisector egybeesik az adott szög ellentétes oldalának mediánjával és bisektorjával..

például:

Az alábbi ábra az ABC háromszöget ábrázolja egy D középponttal, amely az egyik oldalát két AD és BD szegmensre osztja.

Amikor a D ponttól az ellenkező csúcsig húz egy sort, a definíció szerint megkapja a medián CD-t, amely a C csúcshoz és az AB oldalhoz viszonyítva van.

Mivel a CD szegmens osztja az ABC háromszöget a CDB-vel és a CDA-val egyenlő két háromszögre, ez azt jelenti, hogy lesz a kongruencia esete: oldal, szög, oldal, és ezért a CD is a BCD biszektorja lesz..

A CD szegmens rajzolása során a csúcsszöget két egyenlő szögre osztjuk 30-ravagy, az A csúcs szöge továbbra is a 60-as mérésvagy és az egyenes CD 90 ° -os szöget zár bevagy a D középponthoz képest.

A szegmens CD olyan szögeket formáz, amelyek az ADC és a BDC háromszögekre azonos méréssel rendelkeznek, vagyis olyanok, amelyek kiegészítik egymást úgy, hogy mindegyik mérése:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180vagy

2 * Med. (ADC) = 180vagy

Med. (ADC) = 180vagy ÷ 2

Med. (ADC) = 90vagy.

És így van, hogy a CD-szegmens szintén az AB oldal bisectorja.

A bisector és a magasság egybeesik

Amikor a szögletű csúcspontját a másik oldal középpontjához húzza, az egyenlő oldalú háromszöget két, egymáshoz illeszkedő háromszögre osztja.

Olyan módon, hogy 90 ° -os szöget alakítsunk kivagy (Egyenes). Ez azt jelzi, hogy ez a vonalszakasz teljesen merőleges arra az oldalra, és definíció szerint ez a vonal a magasság.

Ily módon az egyenlő oldalú háromszög bármely szögének szétválasztója egybeesik az adott szög ellenkező oldalán lévő relatív magassággal.

Az Orthocenter, a barycenter, a incenter és a circumcenter egybeesik

Mivel a magasságot, a mediánt, a bisszektort és a bisektort egyidejűleg ugyanaz a szegmens képviseli, egyenlő oldalú háromszögben a szegmensek találkozási pontjai - az orthocenter, a barycenter, a incenter és a circumcenter- - ugyanabban a pontban lesznek:

Hogyan kell kiszámítani a kerületet?

A sokszög kerületét az oldalak összege határozza meg. Mivel ebben az esetben az egyenlő oldalú háromszögnek ugyanaz a mérete van, a kerületét a következő képlettel számítják ki:

P = 3 * oldalsó.

A magasság kiszámítása?

Mivel a magasság az alapra merőleges vonal, két egyenlő részre osztja azt az ellenkező csúcsra való kiterjesztéssel. Így két egyenlő jobb háromszög képződik.

A magasság (h) az ellenkező oldalt (a) jelenti, az oldal AC felét a szomszédos oldalhoz (b) és a BC oldala a hypotenuse (c)..

A Pythagorean-tétel segítségével meghatározhatja a magasság értékét:

hogy2 + b2= c2

ahol:

hogy2 = magasság (h).

b2 = oldal b / 2.

c2 = oldal a.

Ezeknek az értékeknek a helyettesítése a pythagorai tételben, és a magasság törlése:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Ha az összehangolt oldalak által alkotott szög ismert, a magasság (a láb által képviselt) számítható a trigonometrikus arányok alkalmazásával.

A lábakat ellentétesnek vagy szomszédosnak nevezik, a referenciaként vett szögtől függően.

Például az előző ábrán a h katéter a C szöghez képest ellentétes lesz, de a B szög mellett:

Így a magasság kiszámítható:

Hogyan kell kiszámítani az oldalakat?

Vannak esetek, amikor a háromszög oldalainak mérése nem ismert, de a magasságuk és a csúcsokban kialakított szögek.

A terület meghatározásához ezekben az esetekben szükséges a trigonometrikus arányok alkalmazása.

Ismerve az egyik csúcs szögét, a lábakat azonosítjuk és a megfelelő trigonometrikus arányt használjuk:

Így az AB láb a C szöghez képest ellentétes lesz, de az A. szöggel szomszédos. A magasságnak megfelelő oldaltól vagy lábtól függően a másik oldal törlődik, hogy megkapja ezt az értéket, tudva, hogy egy háromszögben a három oldalak mindig azonos méretűek lesznek.

A terület kiszámítása?

A háromszögek területét mindig ugyanazzal a képlettel számítják ki, és a bázist magassággal megszorozzák, és kettővel osztva:

Terület = (b * h) ÷ 2

Tudva, hogy a magasságot a következő képlet adja meg:

edzés

Első gyakorlat

Az ABC egyenlő oldalú háromszög oldalai mindegyike 20 cm. Számolja ki a sokszög magasságát és területét.

megoldás

Az egyenlő oldalú háromszög területének meghatározásához szükséges a magasság kiszámítása, tudva, hogy rajzolásakor a háromszög két egyenlő, jobb háromszögre osztódik.

Ily módon a Pythagorean-tétel felhasználható annak megtalálására:

hogy2 + b2= c2

ahol:

a = 20/2 = 10 cm.

b = magasság.

c = 20 cm.

A tételben lévő adatok helyébe a következő kerül:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400-100 cm)

b2 = 300 cm

b = 300 cm

b = 17,32 cm.

Ez azt jelenti, hogy a háromszög magassága 17,32 cm. Most lehetséges kiszámítani az adott háromszög területét a következő képlettel:

Terület = (b * h) ÷ 2

Terület = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Terület = 346,40 cm2 ÷ 2

Terület = 173,20 cm2.

A feladat megoldásának másik egyszerűbb módja az, hogy az adatokat a terület közvetlen képletében helyettesítsük, ahol a magasság értéke is implicit módon van:

Második gyakorlat

Egy egyenlő oldalú háromszög alakú földterületen virágokat ültetnek. Ha a földterület 450 m-re esik, számítsuk ki a virágok által elfoglalt négyzetméterek számát.

megoldás

Tudva, hogy a háromszög kerületének három oldalának összege megfelel, és mivel a terep egyenlő oldalú háromszög alakú, a háromszög három oldala azonos mérettel vagy hosszúságú lesz:

P = oldal + oldal + oldal = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Most már csak a háromszög magasságának kiszámítása szükséges.

A magasság a háromszöget két, egymáshoz illeszkedő jobb háromszögre osztja, ahol az egyik láb a magasságot és az alap másik felét jelenti. A Pythagorean-tétel szerint a magasság meghatározható:

hogy2 + b2= c2

ahol:

hogy = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = magasság

A tételben lévő adatok helyébe a következő kerül:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16,875 m

b = ,816,875 m

b = 129,90 m.

Tehát az a terület lesz, amely a virágokat foglalja el:

Terület = b * h ÷ 2

Terület = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Terület = (19,485 m2) ÷ 2

Terület = 9,742,5 m2

Harmadik gyakorlat

Az ABC egyenlő oldalú háromszöget egy vonalszakasz osztja, amely a C csúcstól a D középső pontig az ellenkező oldalon (AB) helyezkedik el. Ez a szegmens mérete 62 méter. Számítsa ki az egyenlő oldalú háromszög területét és kerületét.

megoldás

Tudva, hogy az egyenlő oldalú háromszöget a magasságnak megfelelő vonalszakasz osztja meg, és így két egymásba illeszkedő jobb háromszöget alkot, ez viszont a C csúcs szöget két szögre osztja ugyanarra az intézkedésre, 30vagy mindegyik.

A magasság 90 ° -os szöget zár bevagy az AB szegmenshez viszonyítva, és az A csúcs szöge 60-as mérést eredményezvagy.

Ezután referenciaként használja a 30-as szögetvagy, a magassági CD-t úgy alakították ki, mint a szög szomszédos lábát, és BC-t hipotenuszként.

Ezekből az adatokból a háromszög egyik oldalának értéke meghatározható a trigonometrikus arányok alkalmazásával:

Ahogy az egyenlő oldalú háromszögben minden oldal pontosan ugyanolyan mértékű vagy hosszú, akkor az ABC egyenlő oldalú háromszög mindkét oldala 71,6 méter. Tudva, hogy meg lehet határozni a területét:

Terület = b * h ÷ 2

Terület = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Terület = 4,338,6 m2 ÷ 2

Terület = 2,219,3 m2

A kerületet három oldal összege adja:

P = oldal + oldal + oldal = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

referenciák

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Műszaki rajz: tevékenységek jegyzetfüzet.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Lapos euklideszi geometria. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometria A transzformációs megközelítés. USA: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R. P. (1886). Euklideszi geometriai elemei.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria és trigonometria.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integrált geometria Metropolitan Technological Institute.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra és trigonometria Pearson oktatás.