Méret háromszög funkciók, képlet és területek, számítás



egy scalene háromszög Ez egy háromoldalú sokszög, ahol mindenkinek különböző mérése vagy hossza van; ezért a scalene nevet kapja, amely latinul mászik.

A háromszögek sokszögek, amelyek a legegyszerűbbek a geometriában, mivel három oldalt, három szöget és három csúcsot alkotnak. A skalén háromszög esetében, mivel az összes különböző oldala van, azt jelenti, hogy három szöge is eltérő lesz..

index

  • 1 A skalén háromszögek jellemzői
    • 1.1 Alkatrészek
  • 2 Tulajdonságok
    • 2.1 Belső szögek
    • 2.2 Az oldalak összege
    • 2.3
    • 2.4 Inkluzív szögek
    • 2.5 A magasság, a medián, a bisector és a bisector nem egybeesik
    • 2.6 Az Orthocenter, a barycenter, a incenter és a circumcenter nem egybeesik
    • 2.7 Relatív magasságok
  • 3 Hogyan kell kiszámítani a kerületet?
  • 4 A terület kiszámítása?
  • 5 A magasság kiszámítása?
  • 6 Hogyan kell kiszámítani az oldalakat?
  • 7 Gyakorlatok
    • 7.1 Első gyakorlat
    • 7.2 Második gyakorlat
    • 7.3 Harmadik gyakorlat
  • 8 Hivatkozások

A skalén háromszögek jellemzői

A méretarányú háromszögek egyszerű sokszögek, mivel egyik oldala vagy szöge sem azonos méréssel rendelkezik, ellentétben az egyenlőszárú és az egyenlő oldalú háromszögekkel.

Mivel minden oldalának és szögének különböző mérése van, ezek a háromszögek szabálytalan konvex poligonok.

A belső szögek amplitúdója szerint a skalén háromszögek az alábbiak szerint vannak besorolva:

  • Méret téglalap háromszög: minden oldala más. Az egyik szöge egyenes (90vagy) és a többiek élesek és különböző intézkedésekkel rendelkeznek.
  • Mérsékelt szög háromszög: minden oldala más, és egyik szöge elhomályos (> 90vagy).
  • Méret acut szög háromszög: minden oldala más. Minden szöge éles (< 90vagy), különböző intézkedésekkel.

A skalén háromszögek másik jellemzője, hogy oldaluk és szögeik összeegyeztethetetlensége miatt nincs szimmetria tengelye..

alkatrészek

A medián: egy vonal, amely az egyik oldal középpontjától elhagyja az ellenkező csúcsot. A három medián megegyezik a centroid vagy centroid nevű pontban.

A bisector: olyan sugár, amely az egyes szögeket két azonos méretű szögbe osztja. A háromszög elágazóinak a pontja az ösztönzés.

A mediatrix: a háromszög oldalára merőleges szegmens, amely ennek középpontjában van. Három médiakártya van egy háromszögben, és egyetértenek a circumcenter nevű pontban.

A magasság: az a vonal, amely a csúcsról az ellenkező oldalra, és ez a vonal is merőleges erre az oldalra. Minden háromszögnek három magassága van, amelyek egybeesnek az orthocenter nevű ponton.

tulajdonságok

A méretarányú háromszögeket definiálják vagy azonosítják, mert több tulajdonságot képviselnek, amelyek a nagy matematikusok által javasolt tételekből származnak. Ezek:

Belső szögek

A belső szögek összege mindig 180vagy.

Az oldalak összege

A két oldal méréseinek összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal mérete, a + b> c.

Nem konzisztens oldal

A skalén háromszögek mindegyik oldala különböző mértékű vagy hosszúságú; vagyis nem megfelelőek.

Egyenetlen szögek

Mivel a skalén háromszög minden oldala más, a szögük is más lesz. A belső szögek összege azonban mindig 180 ° -kal egyenlő, és egyes esetekben az egyik szöge tompa vagy egyenes lehet, míg másokban minden szöge akut lesz.

A magasság, a medián, a bisector és a bisector nem egybeesnek

Mint minden háromszög, a skalén több olyan egyenes vonalszakaszral is rendelkezik, amelyek az összetételükből állnak, például: magasság, medián, bisector és bisector.

Oldalainak sajátosságai miatt az ilyen típusú háromszögekben ezek a vonalak egyike sem egyezik.

Az Orthocenter, a barycenter, a incenter és a circumcenter nem egybeesik

Mivel a magasságot, a mediánt, a bisektort és a bisektort az egyenes vonalak különböző szegmensei képviselik, a scalene háromszögben a találkozási pontok - az ortocenter, centrocenter, incenter és circumcenter - különböző pontokban találhatók (nem egyeznek meg).

Attól függően, hogy a háromszög akut, téglalap vagy skalén, az orthocenter különböző helyekkel rendelkezik:

a. Ha a háromszög akut, az orthocenter a háromszög belsejében lesz.

b. Ha a háromszög téglalap, az ortocentrum egybeesik az egyenes oldal csúcsával.

c. Ha a háromszög tompa, az ortocentrum a háromszög külső oldalán lesz.

Relatív magasságok

A magasságok az oldalakhoz viszonyítva vannak.

A skalén háromszög esetében ezek a magasságok különböző mérésekkel rendelkeznek. Minden háromszögnek három relatív magassága van, és számításukhoz Heron képletét használjuk.

Hogyan kell kiszámítani a kerületet?

A sokszög kerületét az oldalak összege határozza meg.

Mivel ebben az esetben a skalén háromszögnek minden oldala különböző mértékű, a kerülete:

P = oldal a + oldal b + oldal c.

A terület kiszámítása?

A háromszögek területét mindig ugyanazzal a képlettel számítják ki, és a bázist magassággal megszorozzák, és kettővel osztva:

Terület = (alap * h) ÷ 2

Bizonyos esetekben a skalén háromszög magassága nem ismert, de Heron egy matematikus által javasolt képlet, hogy kiszámítsa a háromszög három oldalának mérését ismerő területet.

ahol:

  • a, b és c ábrázolják a háromszög oldalát.
  • sp, megfelel a háromszög félperiméterének, vagyis a kerület felének:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Abban az esetben, ha csak a háromszög két oldalának és a közöttük kialakított szögnek a mérése van, a terület kiszámítható a trigonometrikus arányok alkalmazásával. Szóval:

Terület = (oldal * h) ÷ 2

Ahol a magasság (h) az ellenkező szög szinuszának egyik oldala. Például mindkét oldalon a terület a következő lesz:

  • Terület = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Terület = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Terület = (a * b * sen C) ÷ 2

A magasság kiszámítása?

Mivel a skalén háromszög minden oldala eltérő, nem lehetséges a magasság kiszámítása a Pythagorean-tételben..

A háromszög három oldalának mérésein alapuló Heron képletből a terület kiszámítható.

A magasság törölhető a terület általános képletéből:

Az oldalt az a, b vagy c oldal mérése váltja fel.

Egy másik módja annak, hogy kiszámítsuk a magasságot, ha az egyik szög értéke ismert, a trigonometrikus arányok alkalmazása, ahol a magasság a háromszög lábát képviseli.

Például, ha a magassággal ellentétes szög ismert, a szinusz határozza meg:

Hogyan kell kiszámítani az oldalakat?

Ha a két oldal mérete és az ezzel ellentétes szög van, akkor a harmadik oldalt a kosinusz tétele alapján lehet meghatározni..

Például egy AB háromszögben az AC szegmenshez viszonyított magasságot ábrázoljuk. Így a háromszög két jobb háromszögre oszlik.

A c-oldal (AB szegmens) kiszámításához a Pythagorean-tételt minden háromszögre alkalmazni kell:

  • A kék háromszög esetében:

c2 = h2 + m2

Ahogy m = b - n, helyettesíti:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • A rózsaszín háromszög számára:

h2 = a2 - n2

Az előző egyenlet helyébe lép:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2BN.

Tudva, hogy n = a * cos C, az előző egyenletben van helyettesítve, és a c oldal értékét kapjuk:

c2 = a2 + b2 - 2b* hogy * cos C.

A Cosines törvénye alapján az oldalak kiszámíthatóak:

  • hogy2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2.* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* hogy * cos C.

Vannak olyan esetek, amikor a háromszög oldalainak mérése nem ismert, hanem a magasságuk és a csúcsokban kialakított szögek. A terület meghatározásához ezekben az esetekben szükséges a trigonometrikus arányok alkalmazása.

Ismerve az egyik csúcs szögét, a lábakat azonosítjuk és a megfelelő trigonometrikus arányt használjuk:

Például az AB kateusz a C szöghez képest ellentétes lesz, de az A. szöggel szomszédos. A magasságnak megfelelő oldaltól vagy katétától függően a másik oldal törlődik, hogy megkapja az értéket..

edzés

Első gyakorlat

Számolja ki az ABC skalén háromszög területét és magasságát, tudva, hogy az oldalai:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

megoldás

Mivel az adatok megadják a skalén háromszög három oldalának mérését.

Mivel nincs a magasság értéke, a Heron-képlet alkalmazásával meghatározhatja a területet.

Először kiszámítjuk a félperimétert:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Most a Heron képletében megadott értékeket helyettesítik:

A terület ismeretében kiszámítható a relatív magasság a b oldalon. Az általános képletből törölje azt:

Terület = (oldal * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Második gyakorlat

Az ABC scalene háromszög miatt, amelynek az intézkedései:

  • AB szegmens = 25 m.
  • BC szegmens = 15 m.

A B csúcsnál 50 ° -os szög van kialakítva. Számolja ki a háromszög c oldalához, a kerülethez és a területhez viszonyított relatív magasságot.

megoldás

Ebben az esetben a két oldal méretei vannak. A magasság meghatározásához szükséges a harmadik oldal mérése.

Mivel az adott oldallal ellentétes szög van megadva, lehetséges a kosinuszok alkalmazása az AC oldal (b) mérésének meghatározására:

b2 = a2 + c2 - 2.*c * cos B

ahol:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50vagy.

Az adatok cseréje:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = 367,985

b = 19,18 m.

Ahogy már megvan a három oldal értéke, számítsa ki a háromszög kerületeit:

P = oldal a + oldal b + oldal c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Most már lehetséges a terület meghatározása a Heron képlet alkalmazásával, de először a semiperimétert kell kiszámítani:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Az oldalak és a félperiméter méréseit a Heron képletben helyettesítik:

Végül a terület ismeretében kiszámítható a relatív magasság a c oldalon. Az általános képletből azt kell törölnie, hogy:

Terület = (oldal * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Harmadik gyakorlat

Az ABC scalene háromszögben a b oldal 40 cm, az oldala c 22 cm, az A csúcs pedig 90 ° -os szöget képez.vagy. Számolja ki a háromszög területét.

megoldás

Ebben az esetben az ABC scalene háromszög két oldalának mérését, valamint az A csúcsban kialakított szöget adjuk meg..

A terület meghatározásához nem szükséges az a oldalméret kiszámítása, mivel a trigonometrikus arányokon keresztül a szöget használják annak megtalálásához..

Mivel a magassággal ellentétes szög ismert, ezt a termék az egyik oldalon és a szög szinuszán határozza meg.

A terület képletének helyettesítése:

  • Terület = (oldal * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Terület = (b * c * sen A) ÷ 2

Terület = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Terület = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Terület = 880 cm2 ÷ 2

Terület = 440 cm2.

referenciák

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Műszaki rajz: tevékenységek jegyzetfüzet.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometries. CR technológia, .
  3. Angel, R. R. (2007). Elemi algebra Pearson oktatás,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Lapos euklideszi geometria. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). A geometria alapjai Mexikó: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Elemi geometria a főiskolai hallgatók számára. Cengage tanulás.
  8. Harpe, P. d. (2000). Témák a geometriai csoportelméletben. University of Chicago Press.