Egyenetlen háromszög jellemzők, képlet és terület, számítás



egy egyenlőszárú háromszög Ez egy háromoldalas sokszög, ahol kettőnek ugyanaz a mérése és a harmadik oldala más. Ezt az utolsó oldalt alapnak nevezik. Ennek a tulajdonságnak köszönhetően ezt a nevet kapta, amely görögül "egyenlő lábak".

A háromszögek sokszögek, amelyek a legegyszerűbbnek tekinthetők a geometriában, mivel három oldalt, három szöget és három csúcsot alkotnak. Ezek azok, amelyeknek a legkisebb oldala és szöge van a többi poligonhoz képest, azonban használata igen kiterjedt.

index

  • 1 Az egyenlőszárú háromszögek jellemzői
    • 1.1 Alkatrészek
  • 2 Tulajdonságok
    • 2.1 Belső szögek
    • 2.2 Az oldalak összege
    • 2.3
    • 2.4 Gyengéd szögek
    • 2.5 A magasság, a medián, a bisector és a bisector egybeesik
    • 2.6 Relatív magasságok
    • 2.7 Az Orthocenter, a barycenter, a incenter és a circumcenter egybeesik
  • 3 Hogyan kell kiszámítani a kerületet?
  • 4 A magasság kiszámítása?
  • 5 A terület kiszámítása?
  • 6 A háromszög alapjainak kiszámítása?
  • 7 Gyakorlatok
    • 7.1 Első gyakorlat
    • 7.2 Második gyakorlat
    • 7.3 Harmadik gyakorlat
  • 8 Hivatkozások

Az egyenlőszárú háromszögek jellemzői

Az egyenlőszárú háromszöget az oldalának mintájának paraméterével osztályozták, mivel két oldala egybevágó (azonos hosszúságú).

A belső szögek amplitúdója szerint az egyenlőszárú háromszögek a következők:

  • Téglalap alakú egyenlőszárú háromszög: két oldala egyenlő. Az egyik szöge egyenes (90vagy) és a többiek azonosak (45. \ tvagy mindegyik)
  • Egyenetlen szög háromszög: két oldala egyenlő. Az egyik szöge tompa (> 90vagy).
  • Szimmetrikus akut szögletes háromszög: két oldala egyenlő. Minden szöge éles (< 90vagy), ahol kettő ugyanazt az intézkedést alkalmazza.

alkatrészek

  • A medián: egy vonal, amely az egyik oldal középpontjától elhagyja az ellenkező csúcsot. A három medián megegyezik a centroid vagy centroid nevű pontban.
  • A bisector: olyan sugár, amely az egyes csúcsok szögeit két azonos méretű szögbe osztja. Ezért az úgynevezett szimmetria-tengely, és ez a háromszög csak egy.
  • A mediatrix: a háromszög oldalára merőleges szegmens, amely ennek középpontjában van. A háromszög három mediátuma van, és egy pontban úgynevezett circuncentro.
  • A magasság: az a vonal, amely a csúcsról az ellenkező oldalra, és ez a vonal is merőleges erre az oldalra. Minden háromszögnek három magassága van, amelyek egybeesnek az orthocenter nevű pontban.

tulajdonságok

Az egyenlőszárú háromszögeket definiálják vagy azonosítják, mert több tulajdonságot képviselnek, amelyek a nagy matematikusok által javasolt tételekből származnak:

Belső szögek

A belső szögek összege mindig 180vagy.

Az oldalak összege

A két oldal méréseinek összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal mérete, a + b> c.

Congruent oldalak

Az egyenlőszárú háromszögek két oldala azonos mérettel vagy hosszúságú; vagyis azok egybevágóak, és a harmadik oldal különbözik ezektől.

Kongruens szögek

Az egyenlőszárú háromszögek is izo-szög háromszögek, mert két szögük van, amelyek ugyanazzal a mérettel rendelkeznek (kongruensek). Ezek a háromszög alapjain találhatók, amelyek az ellentétesek az azonos hosszúságú oldalakkal.

Emiatt az a tétel, amely megállapítja, hogy:

"Ha egy háromszögnek két egymáshoz illeszkedő oldala van, akkor az ezen oldalakkal ellentétes szögek is egybeesnek." Ezért, ha egy háromszög egyenlőn áll, alapjainak szögei egybeesnek.

például:

Az alábbi ábra ABC háromszöget ábrázol. A háromszög a BDA szögének csúcsától a bázishoz való nyomon követésével két háromszögre oszlik, amelyek megegyeznek a BDA és a BDC-vel:

Így a B csúcs szöge két egyenlő szögre is felosztott. A bisector most a két új háromszög közötti közös (BD) oldal, míg az AB és a BC oldalak egybeesnek. Tehát a kongruencia oldala, a szög, az oldal (LAL).

Ez azt mutatja, hogy az A és C csúcsok szögei ugyanazt a mérést mutatják, ugyanúgy, mint azt is kimutathatjuk, hogy mivel a BDA és a BDC háromszögek egybevágnak, az AD és DC oldalak is egybeesnek..

A magasság, a medián, a bisector és a bisector egybeesik

Az a vonal, amely a bázistól ellentétes csúcstól az egyenlőszárú háromszög alapja középpontjáig húzódik, egyidejűleg a magasság, a medián és a bisector, valamint a bisector az alap ellenkező szögéhez viszonyítva..

Mindezek a szegmensek egybeesnek az őket reprezentáló szegmensekkel.

például:

Az alábbi ábra az ABC háromszöget ábrázolja, amelynek középpontja M, amely az alapot két BM és CM szegmensre osztja.

Ha egy szegmenst az M ponttól az ellenkező csúcsig rajzol, akkor definíció szerint megkapja a medián AM-t, amely az A csúcshoz és a BC oldalhoz viszonyítva van.

Mivel az AM szegmens az ABC háromszöget két egyenlő AMB és AMC háromszögre osztja, ez azt jelenti, hogy az oldal, a szög, az oldalsó kongruencia esetére kerül sor, ezért az AM szintén a BÂC biszektorja lesz..

Éppen ezért a bisector mindig egyenlő lesz a mediánnal és fordítva.

Az AM szegmens olyan szögeket képez, amelyek az AMB és az AMC háromszögekhez hasonlóan mérik; azaz olyanok, amelyek mindegyike kiegészítő jellegű:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180vagy

2 * Med. (AMC) = 180vagy

Med. (AMC) = 180vagy ÷ 2

Med. (AMC) = 90vagy

Ismert, hogy az AM szegmens által kialakított szögek a háromszög alapja felé egyenesek, ami azt jelzi, hogy ez a szegmens teljesen merőleges az alapra.

Ezért azt jelenti, hogy a magasság és a bisector, tudva, hogy M a középpont.

Ezért az AM egyenes:

  • A BC magasságát képviseli.
  • Ez közepes.
  • Ez a BC mediatrixjában található.
  • Ez a csúcsszögnek a  szétválasztója

Relatív magasságok

Az azonos oldalakhoz viszonyított magasságok ugyanazt az intézkedést is tartalmazzák.

Mivel az egyenlőszárú háromszögnek két egyenlő oldala van, két megfelelő magassága is egyenlő lesz.

Az Orthocenter, a barycenter, a incenter és a circumcenter egybeesik

Mivel a magasság, a medián, a bisector és a bisector a bázishoz viszonyítva ugyanabban a szegmensben képviselteti magát, az orthocenter, a centrocentrikus bemetszés és a circumcenter egypontos pontok, azaz ugyanazon a soron lesznek:

Hogyan kell kiszámítani a kerületet?

A sokszög kerületét az oldalak összege határozza meg.

Mivel ebben az esetben az egyenlőszárú háromszögnek két oldala van ugyanazzal az értékkel, a kerületét a következő képlettel számítják ki:

P = 2*(a) oldal (b oldal).

A magasság kiszámítása?

A magasság az alapra merőleges vonal, a háromszöget két egyenlő részre osztja az ellenkező csúcsra való kiterjesztéssel.

A magasság az ellenkező lábat (a), a bázis (b / 2) felét a szomszédos lábhoz és az "a" oldalt a hypotenuse.

A Pythagorean-tétel segítségével meghatározhatja a magasság értékét:

hogy2 + b2 = c2

ahol:

hogy2 = magasság (h).

b2 = b / 2.

c2 = oldal a.

Ezeknek az értékeknek a helyettesítése a pythagorai tételben, és a magasság törlése:

h2 + (b / 2)2 = hogy2

h2 + b2 / 4 = hogy2

h2 = hogy2 - b2 / 4

h = √ (hogy2 - b2 / 4).

Ha az összehangolt oldalak által alkotott szög ismert, a magasság a következő képlettel számítható:

A terület kiszámítása?

A háromszögek területét mindig ugyanazzal a képlettel számítják ki, és a bázist magassággal megszorozzák, és kettővel osztva:

Vannak olyan esetek, amikor csak a háromszög két oldalának mérése és a közöttük kialakított szög ismert. Ebben az esetben a terület meghatározásához szükséges a trigonometrikus arányok alkalmazása:

Hogyan kell kiszámítani a háromszög alapját??

Mivel az egyenlőszárú háromszögnek két egyenlő oldala van, a bázis értékének meghatározásához legalább a magasság vagy annak szögének mérését kell tudni..

Ismerve a magasságot a Pythagorean-tételből:

hogy2 + b2 = c2

ahol:

hogy2 = magasság (h).

c2 = oldal a.

b2 = b / 2, ismeretlen.

Megtisztítottuk b2 a képlet, és:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Mivel ez az érték az alap felének felel meg, azt kétszer kell szorozni az egyenlőszárú háromszög alapjának teljes mértékének eléréséhez:

b = 2 * (√ a2 - c2)

Abban az esetben, ha csak az egyenlő oldalainak értéke és a köztük lévő szög ismert, akkor a trigonometriát alkalmazzuk, és a csúcsról az alapra nyomon követjük azt a vonalat, amely az egyenlőszárú háromszöget két jobb háromszögre osztja.

Ily módon a bázis felét a következőképpen számítják ki:

Az is lehetséges, hogy csak a bázishoz képest a csúcs magassága és szöge értéke ismert. Ebben az esetben a trigonometria alapján az alap meghatározható:

edzés

Első gyakorlat

Keresse meg az ABC egyenlőszárú háromszög területét, tudva, hogy két oldala 10 cm, a harmadik oldal 12 cm..

megoldás

A háromszög területének megkereséséhez szükséges a magasság kiszámítása a Pythagorai Tételhez kapcsolódó terület képletével, mivel az egyenlő oldalak között kialakított szög értéke nem ismert.

Az egyenlőszárú háromszögről a következő adatok vannak:

  • Egyenletes oldalak (a) = 10 cm.
  • Bázis (b) = 12 cm.

A képletben szereplő értékek helyébe a következő lép:

Második gyakorlat

Az egyenlőszárú háromszög két egyenlő oldalának hossza 42 cm, ezeknek az oldalaknak az összekötése 130 ° -os szöget zár bevagy. Határozza meg a harmadik oldal értékét, a háromszög területét és a kerületet.

megoldás

Ebben az esetben ismertek az oldalak és az ezek közötti szög mérése.

A hiányzó oldal értékének, vagyis a háromszög alapjának megismeréséhez egy vonal merőleges lesz rá, és a szöget két egyenlő részre osztja, az egyik a jobb oldali háromszögre..

  • Egyenletes oldalak (a) = 42 cm.
  • Szög (Ɵ) = 130vagy

Most trigonometria alapján kiszámítjuk a bázis felének értékét, amely megfelel a hipotenusus felének:

A terület kiszámításához meg kell ismerni a háromszög magasságát, amelyet trigonometriával vagy Pythagorean-tétel segítségével lehet kiszámítani, most, hogy a bázis értékét már meghatározták.

A trigonometria alapján:

A kerület kiszámítása:

P = 2*(a) oldal (b oldal).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Harmadik gyakorlat

Számítsuk ki az egyenlőszárú háromszög belső szögeit, tudva, hogy a bázis szöge  = 55vagy

megoldás

A két hiányzó szög (Ê és Ô) megtalálásához meg kell emlékezni a háromszög két tulajdonságára:

  • Minden háromszög belső szögeinek összege mindig 180 leszvagy:

 + Ê + Ô = 180 vagy

  • Egy egyenlőszárú háromszögben az alapszögek mindig egybeesnek, vagyis ugyanazt az intézkedést alkalmazzák, ezért:

 = Ô

Ê = 55vagy

A Ê szög értékének meghatározásához a többi szög értékeit az első szabályban kell helyettesíteni, és törölni:

55vagy + 55vagy + Ô = 180 vagy

110 vagy + Ô = 180 vagy

Ô = 180 vagy - 110 vagy

Ô = 70 vagy.

referenciák

  1. Álvarez, E. (2003). A geometria elemei: számos gyakorlattal és az iránytű geometriájával. Medellini Egyetem.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Műszaki rajz: tevékenységek jegyzetfüzet.
  3. Angel, R. R. (2007). Elemi algebra Pearson oktatás.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra és trigonometria analitikai geometriával. Pearson oktatás.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultúra.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematika 2.
  7. Tuma, J. (1998). Mérnöki matematikai kézikönyv. Wolfram MathWorld.